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Partition properties for simply definable colourings
Israel Journal of Mathematics ( IF 1 ) Pub Date : 2020-03-01 , DOI: 10.1007/s11856-020-1993-0 Philipp Lücke
Israel Journal of Mathematics ( IF 1 ) Pub Date : 2020-03-01 , DOI: 10.1007/s11856-020-1993-0 Philipp Lücke
We study partition properties for uncountable regular cardinals that arise by restricting partition properties defining large cardinal notions to classes of simply definable colourings. We show that both large cardinal assumptions and forcing axioms imply that there is a homogeneous closed unbounded subset of ω 1 for every colouring of the finite sets of countable ordinals that is definable by a Σ 1 -formula that only uses the cardinal ω 1 and real numbers as parameters. Moreover, it is shown that certain large cardinal properties cause analogous partition properties to hold at the given large cardinal and these implications yield natural examples of inaccessible cardinals that possess strong partition properties for Σ 1 -definable colourings and are not weakly compact. In contrast, we show that Σ 1 - definability behaves fundamentally different at ω 2 by showing that various large cardinal assumptions and Martin’s Maximum are compatible with the existence of a colouring of pairs of elements of ω 2 that is definable by a Σ 1 -formula with parameter ω 2 and has no uncountable homogeneous set. Our results will also allow us to derive tight bounds for the consistency strengths of various partition properties for definable colourings. Finally, we use the developed theory to study the question whether certain homeomorphisms that witness failures of weak compactness at small cardinals can be simply definable.
中文翻译:
简单定义着色的分区属性
我们研究了通过将定义大基数概念的分区属性限制为可简单定义的着色类而产生的不可数常规基数的分区属性。我们表明,大基数假设和强制公理都意味着对于可数序数的有限集的每种着色,存在 ω 1 的齐次闭无界子集,该子集可通过仅使用基数 ω 1 和实数的 Σ 1 公式定义数字作为参数。此外,它表明某些大基数性质导致类似的分配性质在给定的大基数上保持不变,这些含义产生了难以接近的基数的自然例子,这些基数对 Σ 1 可定义的着色具有很强的分配性质并且不是弱紧凑的。相比之下,我们通过证明各种大基数假设和马丁最大值与 ω 2 元素对的着色的存在兼容,表明 Σ 1 - 可定义性在 ω 2 处表现出根本不同的行为,该着色可通过具有参数 ω 的 Σ 1 -公式进行定义2 且没有不可数齐集。我们的结果还将使我们能够为可定义的着色的各种分区属性的一致性强度推导出严格的界限。最后,我们使用发展的理论来研究某些见证小基数弱紧性失败的同胚是否可以简单定义的问题。
更新日期:2020-03-01
中文翻译:
简单定义着色的分区属性
我们研究了通过将定义大基数概念的分区属性限制为可简单定义的着色类而产生的不可数常规基数的分区属性。我们表明,大基数假设和强制公理都意味着对于可数序数的有限集的每种着色,存在 ω 1 的齐次闭无界子集,该子集可通过仅使用基数 ω 1 和实数的 Σ 1 公式定义数字作为参数。此外,它表明某些大基数性质导致类似的分配性质在给定的大基数上保持不变,这些含义产生了难以接近的基数的自然例子,这些基数对 Σ 1 可定义的着色具有很强的分配性质并且不是弱紧凑的。相比之下,我们通过证明各种大基数假设和马丁最大值与 ω 2 元素对的着色的存在兼容,表明 Σ 1 - 可定义性在 ω 2 处表现出根本不同的行为,该着色可通过具有参数 ω 的 Σ 1 -公式进行定义2 且没有不可数齐集。我们的结果还将使我们能够为可定义的着色的各种分区属性的一致性强度推导出严格的界限。最后,我们使用发展的理论来研究某些见证小基数弱紧性失败的同胚是否可以简单定义的问题。