For a positive proportion of primes p and q , we prove that $${\mathbb {Z}}$$ Z is Diophantine in the ring of integers of $${\mathbb {Q}}(\root 3 \of {p},\sqrt{-q})$$ Q ( p 3 , - q ) . This provides a new and explicit infinite family of number fields K such that Hilbert’s tenth problem for $$O_K$$ O K is unsolvable. Our methods use Iwasawa theory and congruences of Heegner points in order to obtain suitable rank stability properties for elliptic curves.

中文翻译：

---

通过 Iwasawa 理论和 Heegner 点解决整数环的希尔伯特第十个问题

对于正比例的素数 p 和 q ，我们证明 $${\mathbb {Z}}$$ Z 是 $${\mathbb {Q}}(\root 3 \of {p },\sqrt{-q})$$ Q ( p 3 , - q ) 。这提供了一个新的、明确的无限数域 K 族，使得 $$O_K$$OK 的希尔伯特第十个问题无法解决。我们的方法使用 Iwasawa 理论和 Heegner 点的同余，以获得椭圆曲线的合适的秩稳定性属性。