The partition invariant \(\pi (K)\) of a simplicial complex \(K\subseteq 2^{[m]}\) is the minimum integer \(\nu \), such that for each partition \(A_1\uplus \cdots \uplus A_\nu = [m]\) of [m], at least one of the sets \(A_i\) is in K. A complex K is r-unavoidable if \(\pi (K)\le r\). We say that a complex K is almost r-non-embeddable in \({\mathbb {R}}^d\) if, for each continuous map \(f: \vert K\vert \rightarrow {\mathbb {R}}^d\), there exist r vertex disjoint faces \(\sigma _1,\cdots , \sigma _r\) of \(\vert K\vert \), such that \(f(\sigma _1)\cap \cdots \cap f(\sigma _r)\ne \emptyset \). One of our central observations (Theorem 2.1), summarizing and extending results of Schild et al. is that interesting examples of (almost) r-non-embeddable complexes can be found among the joins \(K = K_1*\cdots *K_s\) of r-unavoidable complexes.

中文翻译：

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通过基本等变指数理论，不可避免的络合物

简单复数\（K \ subseteq 2 ^ {[m]} \）的分区不变变量\（\ pi（K）\）是最小整数\（\ nu \），因此对于每个分区\（A_1 \ UPLUS \ cdots \ UPLUS A_ \ NU = [M] \）的[米]的组中，至少一个\（A_I \）是在ķ。如果\（\ pi（K）\ le r \），则复数K是r-不可避免的。我们说如果对于每个连续映射\（f：\ vert K \ vert \ rightarrow {\ mathbb {R}，如果复数K几乎是r-不可嵌入\（{\ mathbb {R}} ^ d \）} ^ d \），存在r顶点不相交面\（\西格玛_1，\ cdots，\西格玛_r \）的\（\ VERTķ\ VERT \） ，使得\（F（\西格马_1）\帽\ cdots \帽F（\西格玛_r） \ ne \ emptyset \）。我们的主要观察之一（定理2.1），总结和扩展了Schild等人的结果。是的那有趣的例子（几乎）- [R -壬嵌入复合物可以被中发现加入\（K = K_1 * \ cdots * K_S \）的- [R -unavoidable络合物。