Meshfree techniques based on infinitely smooth radial kernels have the great potential to provide spectrally accurate function approximations with irregular domain in high dimensions. The maximum accuracy can mostly be found when the RBF shape parameter is small, i.e., when the radial kernel is relatively smooth. However, as the shape parameter goes to zero, the standard RBF interpolant matrix will be very ill-conditioned. The ill-conditioning can be alleviated using alternate bases. One of these alternative bases is the Hilbert–Schmidt SVD basis. The Hilbert–Schmidt SVD approach suggests a stable mechanism for replacing a set of near-flat kernels with scattered centres to a well-conditioned base for exactly the same space. In this work, the Gaussian Hilbert–Schmidt SVD basis functions method is presented to numerically solve the linear two-dimensional Fredholm integral equations of the second kind. The method estimates the solution by the discrete collocation method based on Gaussian Hilbert–Schmidt SVD basis functions constructed on a set of scattered points. The emerged integrals in the scheme are approximately computed by the Gauss–Legendre quadrature rule. This approach reduces the problem under study to a linear system of algebraic equations which can be solved easily via applying an appropriate numerical technique. Also, the convergence of the proposed approach is established. Finally, numerical results are compared with standard RBF method to indicate the accuracy and efficiency of the suggested approach.

中文翻译：

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Hilbert–Schmidt SVD方法在求解第二类线性二维Fredholm积分方程中的应用

基于无限平滑径向核的无网格技术具有很大的潜力，可以在高维中提供具有不规则域的频谱精确函数逼近。当RBF形状参数小时，即径向核相对光滑时，可以找到最大的精度。但是，随着形状参数变为零，标准RBF插值矩阵将处于非常恶劣的状态。可以通过使用其他基础来减轻不适。这些替代基础之一是希尔伯特-施密特SVD基础。希尔伯特-施密特（Hilbert-Schmidt）SVD方法提出了一种稳定的机制，可以将具有分散中心的一组接近平坦的内核替换为一个完全相同空间的条件良好的基础。在这项工作中 提出了高斯希尔伯特-施密特SVD基函数方法来数值求解第二类线性二维Fredholm积分方程。该方法通过基于在一组分散点上构建的高斯Hilbert-Schmidt SVD基函数的离散搭配方法来估计解决方案。该方案中出现的积分是通过高斯-勒格德勒正交规则近似计算的。这种方法将研究中的问题简化为代数方程的线性系统，可以通过应用适当的数值技术轻松解决。而且，建立了所提出方法的收敛性。最后，将数值结果与标准RBF方法进行比较，以表明所建议方法的准确性和效率。该方法通过基于在一组分散点上构建的高斯Hilbert-Schmidt SVD基函数的离散搭配方法来估计解决方案。该方案中出现的积分是通过高斯-勒格德勒正交规则近似计算的。这种方法将正在研究的问题简化为代数方程的线性系统，可以通过应用适当的数值技术轻松解决该问题。而且，建立了所提出方法的收敛性。最后，将数值结果与标准RBF方法进行比较，以表明所建议方法的准确性和效率。该方法通过基于在一组分散点上构建的高斯Hilbert-Schmidt SVD基函数的离散搭配方法来估计解决方案。该方案中出现的积分是通过高斯-勒格德勒正交规则近似计算的。这种方法将研究中的问题简化为代数方程的线性系统，可以通过应用适当的数值技术轻松解决。而且，建立了所提出方法的收敛性。最后，将数值结果与标准RBF方法进行比较，以表明所建议方法的准确性和效率。该方案中出现的积分是通过高斯-勒格德勒正交规则近似计算的。这种方法将正在研究的问题简化为代数方程的线性系统，可以通过应用适当的数值技术轻松解决该问题。而且，建立了所提出方法的收敛性。最后，将数值结果与标准RBF方法进行比较，以表明所建议方法的准确性和效率。该方案中出现的积分是通过高斯-勒格德勒正交规则近似计算的。这种方法将研究中的问题简化为代数方程的线性系统，可以通过应用适当的数值技术轻松解决。而且，建立了所提出方法的收敛性。最后，将数值结果与标准RBF方法进行比较，以表明所建议方法的准确性和效率。