We prove a lower bound of Ω ( n 2 /log 2 n ) on the size of any syntactically multilinear arithmetic circuit computing some explicit multilinear polynomial f ( x 1 ,..., x n ). Our approach expands and improves upon a result of Raz, Shpilka and Yehudayoff ([34]), who proved a lower bound of Ω ( n 4/3 /log 2 n ) for the same polynomial. Our improvement follows from an asymptotically optimal lower bound for a generalized version of Galvin's problem in extremal set theory. A special case of our combinatorial result implies, for every n , a tight Ω ( n ) lower bound on the minimum size of a family F of subsets of cardinality 2 n of a set X of size 4 n , so that any subset of X of size 2 n has intersection of size exactly n with some member of F . This settles a problem of Galvin up to a constant factor, extending results of Frankl and Rödl [15] and Enomoto et al. [12], who proved in 1987 the above statement (with a tight constant) for odd values of n , leaving the even case open.

中文翻译：

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句法多线性算术电路的不平衡集和几乎二次下界

我们在计算一些显式多重线性多项式 f ( x 1 ,..., xn ) 的任何句法多线性算术电路的大小上证明了 Ω ( n 2 /log 2 n ) 的下界。我们的方法扩展并改进了 Raz、Shpilka 和 Yehudayoff ([34]) 的结果，他们证明了相同多项式的 Ω ( n 4/3 /log 2 n ) 下界。我们的改进源于极值集理论中 Galvin 问题的广义版本的渐近最优下界。我们的组合结果的一个特例意味着，对于每个 n ，大小为 4 n 的集合 X 的基数为 2 n 的子集的族 F 的最小大小有一个严格的 Ω ( n ) 下限，因此 X 的任何子集大小为 2 n 的大小正好是 n 与 F 的某个成员的交集。这将高尔文问题解决为一个常数因子，Frankl 和 Rödl [15] 以及 Enomoto 等人的扩展结果。[12]，他在 1987 年证明了上述 n 的奇数值的陈述（具有严格的常数），让偶数情况保持开放。