Khovanov-Lauda-Rouquier algebras $R_\theta$ of finite Lie type are affine quasihereditary with standard modules $\Delta(\pi)$ labeled by Kostant partitions of $\theta$. Let $\Delta$ be the direct sum of all standard modules. It is known that the Yoneda algebra $\mathcal{E}_\theta:=\operatorname{Ext}_{R_\theta}^*(\Delta, \Delta)$ carries a structure of an $A_\infty$-algebra which can be used to reconstruct the category of standardly filtered $R_\theta$-modules. In this paper, we explicitly describe $\mathcal{E}_\theta$ in two special cases: (1) when $\theta$ is a positive root in type $\mathtt{A}$, and (2) when $\theta$ is of Lie type $\mathtt{A_2}$. In these cases, $\mathcal{E}_\theta$ turns out to be torsion free and intrinsically formal. We provide an example to show that the $A_\infty$-algebra $\mathcal{E}_\theta$ is non-formal in general.

中文翻译：

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A 类 KLR 代数上标准模块的一些扩展代数

有限 Lie 类型的 Khovanov-Lauda-Rouquier 代数 $R_\theta$ 是仿射拟遗传的，标准模 $\Delta(\pi)$ 由 $\theta$ 的 Kostant 分区标记。令 $\Delta$ 是所有标准模块的直接和。已知米田代数 $\mathcal{E}_\theta:=\operatorname{Ext}_{R_\theta}^*(\Delta, \Delta)$ 带有 $A_\infty$-代数可用于重建标准过滤的 $R_\theta$-modules 的类别。在本文中，我们在两种特殊情况下明确地描述了 $\mathcal{E}_\theta$：（1）当 $\theta$ 是 $\mathtt{A}$ 类型的正根时，以及（2）当 $ \theta$ 是李类型 $\mathtt{A_2}$。在这些情况下，$\mathcal{E}_\theta$ 被证明是无扭转的并且本质上是形式化的。我们提供了一个例子来说明 $A_\infty$-代数 $\mathcal{E}_\theta$ 通常是非形式的。