Parametric Markov chains have been introduced as a model for families of stochastic systems that rely on the same graph structure, but differ in the concrete transition probabilities. The latter are specified by polynomial constraints over a finite set of parameters. Important tasks in the analysis of parametric Markov chains are (1) computing closed-form solutions for reachability probabilities and other quantitative measures and (2) finding symbolic representations of the set of parameter valuations for which a given temporal logical formula holds as well as (3) the decision variant of (2) that asks whether there exists a parameter valuation where a temporal logical formula holds. Our contribution to (1) is to show that existing implementations for computing rational functions for reachability probabilities or expected costs in parametric Markov chains can be improved by using fraction-free Gaussian elimination, a long-known technique for linear equation systems with parametric coefficients. Our contribution to (2) and (3) is a complexity-theoretic discussion of the model-checking problem for parametric Markov chains and probabilistic computation tree logic (PCTL) formulas. We present an exponential-time algorithm for (2) and a PSPACE upper bound for (3). Moreover, we identify fragments of PCTL and subclasses of parametric Markov chains where (1) and (3) are solvable in polynomial time and establish NP-hardness for other PCTL fragments.

已引入参数马尔可夫链作为随机系统族的模型，这些系统依赖于相同的图结构，但具体的转移概率不同。后者由一组有限参数上的多项式约束指定。参数马尔可夫链分析中的重要任务是（1）计算可达性概率和其他定量测度的封闭式解决方案，以及（2）找到具有给定时间逻辑公式的参数评估集的符号表示形式，以及（ 3）（2）的决策变体，询问在时序逻辑公式所在的位置是否存在参数评估。我们对（1）的贡献是表明，可以通过使用无分数高斯消去法来改善现有的用于计算参数马尔可夫链中的可到达性概率或预期成本的有理函数的实现方式，这是具有参数系数的线性方程组的一种众所周知的技术。我们对（2）和（3）的贡献是关于参数Markov链和概率计算树逻辑（PCTL）公式的模型检查问题的复杂度理论讨论。我们为（2）提出了指数时间算法，为（3）提出了PSPACE上限。此外，我们确定PCTL的片段和参数马尔可夫链的子类，其中（1）和（3）在多项式时间内可求解，并为其他PCTL片段建立NP硬度。带有参数系数的线性方程组的一项长期已知技术。我们对（2）和（3）的贡献是关于参数Markov链和概率计算树逻辑（PCTL）公式的模型检查问题的复杂度理论讨论。我们为（2）提出了指数时间算法，为（3）提出了PSPACE上限。此外，我们确定PCTL的片段和参数马尔可夫链的子类，其中（1）和（3）在多项式时间内可求解，并为其他PCTL片段建立NP硬度。带有参数系数的线性方程组的一项长期已知技术。我们对（2）和（3）的贡献是关于参数Markov链和概率计算树逻辑（PCTL）公式的模型检查问题的复杂度理论讨论。我们为（2）提出了指数时间算法，为（3）提出了PSPACE上限。此外，我们确定PCTL的片段和参数马尔可夫链的子类，其中（1）和（3）在多项式时间内可求解，并为其他PCTL片段建立NP硬度。我们为（2）提出一个指数时间算法，为（3）提出一个PSPACE上限。此外，我们确定PCTL的片段和参数马尔可夫链的子类，其中（1）和（3）在多项式时间内可求解，并为其他PCTL片段建立NP硬度。我们为（2）提出了指数时间算法，为（3）提出了PSPACE上限。此外，我们确定PCTL的片段和参数马尔可夫链的子类，其中（1）和（3）在多项式时间内可求解，并为其他PCTL片段建立NP硬度。