Given a set $S$ of $n$ points in the unit square $U={[0,1]}^2$, an axis aligned square $r\subseteq U$ is anchored at $S$ if a corner of $r$ is in $S$, and empty if no point in $S$ lies in the interior of $r$. The reach $R\left(S\right)$ of $S$ is the union of all anchored empty squares for $S$. The maximum area of a packing of $U$ with anchored empty squares is bounded above by $\text{area}\left(R\left(S\right)\right)$. We prove that $\text{area}\left(R\left(S\right)\right)\ge \frac{1}{2}$ for every nonempty finite set $S\subset U$, and this bound is the best possible. We also describe an algorithm that computes the region $R\left(S\right)$ and its area in $O(nlogn)$ time.

中文翻译：

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轴对齐的正方形在平面中的范围

给定一套 $\mathrm{小号}$ 的 $ñ$ 单位平方中的点 $ü={[0，\mathrm{1个}]}^2$，轴对齐的正方形 $\mathrm{[R}\subseteq ü$被固定在$\mathrm{小号}$ 如果一个角落 $\mathrm{[R}$ 在 $\mathrm{小号}$，如果没有指向则为空$\mathrm{小号}$ 躺在内部 $\mathrm{[R}$。该范围 $\mathrm{[R}（\mathrm{小号}）$ 的 $\mathrm{小号}$ 是所有锚定空方块的并集 $\mathrm{小号}$。包装的最大面积$ü$ 锚定的空方块的上方是 $\text{区}（\mathrm{[R}（\mathrm{小号}））$。我们证明$\text{区}（\mathrm{[R}（\mathrm{小号}））\ge \frac{\mathrm{1个}}{2}$ 对于每个非空有限集 $\mathrm{小号}\subset ü$，并且此界限是最大可能的。我们还描述了一种计算区域的算法$\mathrm{[R}（\mathrm{小号}）$ 及其在 $Ø（ñ日志ñ）$ 时间。