Abstract The harmonic index H ( G ) of a graph G is defined as the sum of the weights 2 d ( u ) + d ( v ) of all edges u v of G , where d ( u ) is the degree of the vertex u in G . The D P -chromatic number of G , denoted by χ D P ( G ) , is the minimum number k such that G is D P - k -colorable. In this paper, we show that χ D P ( G ) ≤ 2 H ( G ) , and the equality holds if and only if G is a complete graph possibly with some additional isolated vertices. This generalizes the result of Deng et al. (2013) and Wu et al. (2017), respectively.

中文翻译：

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图的调和指数及其DP-色数

摘要 图 G 的调和指数 H ( G ) 定义为 G 的所有边 uv 的权重 2 d ( u ) + d ( v ) 之和，其中 d ( u ) 是顶点 u 在G 。G 的 DP 色数，用 χ DP ( G ) 表示，是使 G 是 DP-k 可着色的最小数 k。在本文中，我们证明了 χ DP ( G ) ≤ 2 H ( G ) ，并且当且仅当 G 是一个可能具有一些额外孤立顶点的完整图时，该等式才成立。这概括了邓等人的结果。(2013) 和吴等人。（2017），分别。