In this paper, we study a class of Kirchhoff equations with Hardy–Littlewood–Sobolev critical nonlinearity in ${\mathbb{R}}^N$. More precisely, we consider $-\left(a+b{\int }_{{\mathbb{R}}^N}{|\nabla u|}^{2}dx\right)\Delta u-a\left[\Delta \left(u^2\right)\right]u=\lambda \left(I_{\mu }\ast {\left|u\right|}^p\right){\left|u\right|}^{p-2}u+\left(I_{\mu }\ast {\left|u\right|}^{22_{\mu }^{\ast }}\right){\left|u\right|}^{22_{\mu }^{\ast }-2}u,$ where $a>0$, $b\ge 0$, $N\ge 3$, $0<\mu <\frac{4N}{3N+4}$, $\frac{2(N+\mu )}{N}\le p<2_{\mu }^{\ast }≔\frac{2(N-\mu )}{N-2}$, $\lambda >0$ and $I_{\mu }$ is a Riesz potential. We prove the existence and multiplicity of solutions for the equation by variational methods together with concentration–compactness principle.

中文翻译：

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具有Hardy–Littlewood–Sobolev临界非线性的Kirchhoff方程的存在性结果

在本文中，我们研究了一类具有Hardy–Littlewood–Sobolev临界非线性的Kirchhoff方程 ${\mathbb{[R}}^{ñ}$。更确切地说，我们考虑$-\left(\mathrm{一种}+b{\int }_{{\mathbb{[R}}^{ñ}}{|\nabla ü|}^{2}dX\right)\Delta ü-\mathrm{一种}\left[\Delta （{ü}^2）\right]ü=\lambda \left({\mathrm{一世}}_{\mu }\ast {\left|ü\right|}^p\right){\left|ü\right|}^{p-2}ü+\left({\mathrm{一世}}_{\mu }\ast {\left|ü\right|}^{22_{\mu }^{\ast }}\right){\left|ü\right|}^{22_{\mu }^{\ast }-2}ü，$ 哪里 $\mathrm{一种}>0$， $b\ge 0$， $ñ\ge 3$， $0<\mu <\frac{4ñ}{3ñ+4}$， $\frac{2（ñ+\mu ）}{ñ}\le p<2_{\mu }^{\ast }≔\frac{2（ñ-\mu ）}{ñ-2}$， $\lambda >0$ 和 ${\mathrm{一世}}_{\mu }$是Riesz势。我们用变分方法以及浓度-紧致原理证明了该方程解的存在性和多重性。