We say that a Drazin invertible operator T on Hilbert space is of class $[DN]$ if $T^{D}T^{*} = T^{*}T^{D}$. The authors in (Oper. Matrices 12(2):465–487, 2018) studied several properties of this class. We prove the Fuglede–Putnam commutativity theorem for D-normal operators. Also, we show that T has the Bishop property $(\beta)$. Finally, we generalize a very famous result on products of normal operators due to I. Kaplansky to D-normal matrices.

中文翻译：

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Hilbert空间上一些经典定理对D-正规算子的推广

我们说，如果$ T ^ {D} T ^ {** = T ^ {*} T ^ {D} $，则希尔伯特空间上的Drazin可逆算符T为$ [DN] $类。（Oper.Matrices 12（2）：465-487，2018）中的作者研究了此类的一些属性。我们证明了D-正规算子的Fuglede-Putnam可交换性定理。此外，我们显示T具有Bishop属性$（\ beta）$。最后，由于I. Kaplansky归因于D正规矩阵，我们在正规算子的乘积上推广了一个非常著名的结果。