Abstract Fix a primitive, positive definite binary quadratic form g with integer coefficients. We prove asymptotic formulas for sums of the form ∑ r g ( n ) β and ∑ r g ⁎ ( n ) β , where β ≥ 0 and r g ( n ) , resp. r g ⁎ ( n ) , denote the number of inequivalent representations, resp. proper inequivalent representations, of n by g. These estimates generalize a previous result by Blomer and Granville (2006) by allowing for non-fundamental discriminants and also clarify some details in the proof of the positive density conjecture for integral Apollonian circle packings by Bourgain and Fuchs (2011).

中文翻译：

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二元二次型和阿波罗圆堆积的表示数估计

Abstract 用整数系数修正一个原始的正定二元二次型 g。我们证明了形式为 ∑ rg ( n ) β 和 ∑ rg ⁎ ( n ) β 的和的渐近公式，其中 β ≥ 0 和 rg ( n ) ，分别为。rg ⁎ ( n ) ，分别表示不等价表示的数量。n 乘 g 的适当不等价表示。这些估计通过允许非基本判别式概括了 Blomer 和 Granville (2006) 先前的结果，并且还澄清了 Bourgain 和 Fuchs (2011) 对完整的阿波罗环堆积的正密度猜想的证明中的一些细节。