More than 45 years ago, Dekker proved that it is possible to evaluate the exact error of a floating-point sum with only two additional floating-point operations, provided certain conditions are met. Today the respective algorithm for transforming a sum into its floating-point approximation and the corresponding error is widely referred to as $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum . Besides some assumptions on the floating-point system itself—all of which are satisfied by any binary IEEE $$754$$ 754 standard conform arithmetic, the main practical limitation of $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum is that the summands have to be ordered according to their exponents. In most preceding applications of $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum , however, a more stringent condition is used, namely that the summands have to be sorted according to their absolute value. In remembrance of Dekker’s work, this note reminds the original assumptions for an error-free transformation via $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum . Moreover, we generalize the conditions for arbitrary bases and discuss a possible modification of the $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum algorithm to extend its applicability even further. Subsequently, a range of programs exploiting the wider applicability is presented. This comprises the OnlineExactSum algorithm by Zhu and Hayes, an error-free transformation from a product of three floating-point numbers to a sum of the same number of addends, and an algorithm for accurate summation proposed by Demmel and Hida.

中文翻译：

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关于 Dekker 的 FastTwoSum 算法的注释

45 多年前，Dekker 证明，只要满足某些条件，就可以仅通过两个额外的浮点运算来评估浮点和的准确误差。今天，将总和转换为其浮点近似值和相应误差的相应算法被广泛称为 $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum 。除了对浮点系统本身的一些假设——所有这些都被任何符合 IEEE $$754$$ 754 标准的算法所满足，$${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$ 的主要实际限制$ FastTwoSum 是被加数必须根据它们的指数进行排序。然而，在 $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum 的大多数先前应用中，使用了更严格的条件，即被加数必须根据它们的绝对值进行排序。为了纪念 Dekker 的工作，本笔记提醒了通过 $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum 进行无错误转换的原始假设。此外，我们概括了任意基的条件，并讨论了 $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum 算法的可能修改，以进一步扩展其适用性。随后，介绍了一系列利用更广泛适用性的程序。这包括 Zhu 和 Hayes 的 OnlineExactSum 算法、从三个浮点数的乘积到相同数量的加数之和的无差错转换，以及 Demmel 和 Hida 提出的精确求和算法。此注释提醒了通过 $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum 进行无错误转换的原始假设。此外，我们概括了任意基的条件，并讨论了 $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum 算法的可能修改，以进一步扩展其适用性。随后，介绍了一系列利用更广泛适用性的程序。这包括 Zhu 和 Hayes 的 OnlineExactSum 算法、从三个浮点数的乘积到相同数量的加数之和的无差错转换，以及 Demmel 和 Hida 提出的精确求和算法。此注释提醒了通过 $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum 进行无错误转换的原始假设。此外，我们概括了任意基的条件，并讨论了 $${{\,\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum 算法的可能修改，以进一步扩展其适用性。随后，介绍了一系列利用更广泛适用性的程序。这包括 Zhu 和 Hayes 的 OnlineExactSum 算法、从三个浮点数的乘积到相同数量的加数之和的无错误转换，以及 Demmel 和 Hida 提出的精确求和算法。\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum 算法进一步扩展其适用性。随后，介绍了一系列利用更广泛适用性的程序。这包括 Zhu 和 Hayes 的 OnlineExactSum 算法、从三个浮点数的乘积到相同数量的加数之和的无差错转换，以及 Demmel 和 Hida 提出的精确求和算法。\mathrm{FastTwoSum}\,}}$$ FastTwoSum 算法进一步扩展其适用性。随后，介绍了一系列利用更广泛适用性的程序。这包括 Zhu 和 Hayes 的 OnlineExactSum 算法、从三个浮点数的乘积到相同数量的加数之和的无差错转换，以及 Demmel 和 Hida 提出的精确求和算法。