This work explores different particle-based approaches for the simulation of space–fractional diffusion equations in unbounded domains. We rely on smooth particle approximations and consider five different methods for estimating the fractional diffusion term. The first method is based on a direct differentiation of the particle representation, following the Riesz definition of the fractional derivative, and results in a non-conservative scheme. Three methods follow the particle strength exchange (PSE) methodology and are by construction conservative, meaning that the total particle strength is time-invariant. The first PSE algorithm estimates the fractional diffusion flux using direct differentiation and uses an integral representation of the divergence operator. The second one relies on the integral representation of the fractional Laplacian to derive a suitable particle strength exchange formula for the diffusion term. The third PSE construction employs the Green’s function of the fractional diffusion equation. A fifth method is developed based on the diffusion velocity approach, where the diffusion term is transformed into a transport term. The performance of all five methods is assessed, for which analytical solutions are known. A detailed analysis is conducted of the various sources of error, namely filtering, quadrature, domain truncation, and time integration. Computational experiments are used to gain insight into the generalization of the present constructions, such as applications in bounded domains or variable diffusivity.

中文翻译：

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空间分形扩散方程的粒子模拟

这项工作探索了不同的基于粒子的方法来模拟无界域中的空间-分数扩散方程。我们依靠平滑的粒子逼近，并考虑了五种不同的方法来估计分数扩散项。第一种方法基于粒子表示的直接微分，遵循分数导数的Riesz定义，并导致非保守方案。三种方法遵循粒子强度交换（PSE）方法，并且在构造上是保守的，这意味着总粒子强度是随时间变化的。第一种PSE算法使用直接微分估计分数扩散通量，并使用散度算符的积分表示。第二种方法基于分数拉普拉斯算子的积分表示来得出适合扩散项的颗粒强度交换公式。第三种PSE构造采用分数扩散方程式的格林函数。根据扩散速度方法开发了第五种方法，其中将扩散项转换为传输项。评估了所有五种方法的性能，已知其分析解决方案。对各种错误源进行了详细分析，这些错误源包括滤波，正交，域截断和时间积分。计算实验用于深入了解当前结构的一般性，例如在有界域或可变扩散率中的应用。第三种PSE构造采用分数扩散方程式的格林函数。根据扩散速度方法开发了第五种方法，其中将扩散项转换为传输项。评估了所有五种方法的性能，已知其分析解决方案。对各种错误源进行了详细分析，这些错误源包括滤波，正交，域截断和时间积分。计算实验用于深入了解当前结构的一般性，例如在有界域或可变扩散率中的应用。第三种PSE构造采用分数扩散方程式的格林函数。根据扩散速度方法开发了第五种方法，其中将扩散项转换为传输项。评估了所有五种方法的性能，已知其分析解决方案。对各种错误源进行了详细的分析，这些错误源包括滤波，正交，域截断和时间积分。计算实验用于深入了解当前结构的一般性，例如在有界域或可变扩散率中的应用。评估了所有五种方法的性能，已知其分析解决方案。对各种错误源进行了详细分析，这些错误源包括滤波，正交，域截断和时间积分。计算实验用于深入了解当前结构的一般性，例如在有界域或可变扩散率中的应用。评估了所有五种方法的性能，并为此分析了解决方案。对各种错误源进行了详细分析，这些错误源包括滤波，正交，域截断和时间积分。计算实验用于深入了解当前结构的一般性，例如在有界域或可变扩散率中的应用。