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Pointwise Bounds for Joint Eigenfunctions of Quantum Completely Integrable Systems
Communications in Mathematical Physics ( IF 2.4 ) Pub Date : 2020-04-01 , DOI: 10.1007/s00220-020-03730-3 Jeffrey Galkowski 1 , John A Toth 2
Communications in Mathematical Physics ( IF 2.4 ) Pub Date : 2020-04-01 , DOI: 10.1007/s00220-020-03730-3 Jeffrey Galkowski 1 , John A Toth 2
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Let ( M , g ) be a compact Riemannian manifold of dimension n and $$P_1:=-h^2\Delta _g+V(x)-E_1$$ P 1 : = - h 2 Δ g + V ( x ) - E 1 so that $$dp_1\ne 0$$ d p 1 ≠ 0 on $$p_1=0$$ p 1 = 0 . We assume that $$P_1$$ P 1 is quantum completely integrable (ACI) in the sense that there exist functionally independent pseuodifferential operators $$P_2,\dots P_n$$ P 2 , ⋯ P n with $$[P_i,P_j]=0$$ [ P i , P j ] = 0 , $$i,j=1,\dots n$$ i , j = 1 , ⋯ n . We study the pointwise bounds for the joint eigenfunctions, $$u_h$$ u h of the system $$\{P_i\}_{i=1}^n$$ { P i } i = 1 n with $$P_1u_h=E_1u_h+o(1)$$ P 1 u h = E 1 u h + o ( 1 ) . In Theorem 1 , we first give polynomial improvements over the standard Hörmander bounds for typical points in M . In two and three dimensions, these estimates agree with the Hardy exponent $$h^{-\frac{1-n}{4}}$$ h - 1 - n 4 and in higher dimensions we obtain a gain of $$h^{\frac{1}{2}}$$ h 1 2 over the Hörmander bound. In our second main result (Theorem 3 ), under a real-analyticity assumption on the QCI system, we give exponential decay estimates for joint eigenfunctions at points outside the projection of invariant Lagrangian tori; that is at points $$x\in M$$ x ∈ M in the “microlocally forbidden” region $$p_1^{-1}(E_1)\cap \dots \cap p_n^{-1}(E_n)\cap T^*_xM=\emptyset .$$ p 1 - 1 ( E 1 ) ∩ ⋯ ∩ p n - 1 ( E n ) ∩ T x ∗ M = ∅ . These bounds are sharp locally near the projection of the invariant tori.
中文翻译:
量子完全可积系统联合本征函数的逐点界
令 ( M , g ) 是维度为 n 且 $$P_1:=-h^2\Delta _g+V(x)-E_1$$ P 1 : = - h 2 Δ g + V ( x ) 的紧凑黎曼流形- E 1 使得 $$dp_1\ne 0$$ dp 1 ≠ 0 on $$p_1=0$$ p 1 = 0 。我们假设 $$P_1$$ P 1 是量子完全可积(ACI),因为存在功能独立的伪微分算子 $$P_2,\dots P_n$$ P 2 ,⋯ P n with $$[P_i,P_j] =0$$ [ P i , P j ] = 0 , $$i,j=1,\dots n$$ i , j = 1 , ⋯ n 。我们研究系统的联合特征函数 $$u_h$$ uh $$\{P_i\}_{i=1}^n$$ { P i } i = 1 n 和 $$P_1u_h=E_1u_h +o(1)$$ P 1 uh = E 1 uh + o ( 1 ) 。在定理 1 中,我们首先对 M 中典型点的标准 Hörmander 边界进行多项式改进。在二维和三维中,这些估计与哈代指数 $$h^{-\frac{1-n}{4}}$$ h - 1 - n 4 一致,并且在更高维度上我们获得了 $$h^{\frac{1 }{2}}$$ h 1 2 越过荷曼德边界。在我们的第二个主要结果(定理 3 )中,在 QCI 系统的实分析假设下,我们给出了不变拉格朗日环面投影之外点的联合特征函数的指数衰减估计;即在点 $$x\in M$$ x ∈ M 在“微局部禁止”区域 $$p_1^{-1}(E_1)\cap \dots\cap p_n^{-1}(E_n)\cap T^*_xM=\emptyset .$$ p 1 - 1 ( E 1 ) ∩ ⋯ ∩ pn - 1 ( E n ) ∩ T x ∗ M = ∅ . 这些边界在不变环的投影附近局部尖锐。我们在不变拉格朗日环面投影之外的点处给出联合特征函数的指数衰减估计;即在点 $$x\in M$$ x ∈ M 在“微局部禁止”区域 $$p_1^{-1}(E_1)\cap \dots\cap p_n^{-1}(E_n)\cap T^*_xM=\emptyset .$$ p 1 - 1 ( E 1 ) ∩ ⋯ ∩ pn - 1 ( E n ) ∩ T x ∗ M = ∅ . 这些边界在不变环的投影附近局部尖锐。我们在不变拉格朗日环面投影之外的点处给出联合特征函数的指数衰减估计;即在点 $$x\in M$$ x ∈ M 在“微局部禁止”区域 $$p_1^{-1}(E_1)\cap \dots\cap p_n^{-1}(E_n)\cap T^*_xM=\emptyset .$$ p 1 - 1 ( E 1 ) ∩ ⋯ ∩ pn - 1 ( E n ) ∩ T x ∗ M = ∅ . 这些边界在不变环的投影附近局部是尖锐的。
更新日期:2020-04-01
中文翻译:
量子完全可积系统联合本征函数的逐点界
令 ( M , g ) 是维度为 n 且 $$P_1:=-h^2\Delta _g+V(x)-E_1$$ P 1 : = - h 2 Δ g + V ( x ) 的紧凑黎曼流形- E 1 使得 $$dp_1\ne 0$$ dp 1 ≠ 0 on $$p_1=0$$ p 1 = 0 。我们假设 $$P_1$$ P 1 是量子完全可积(ACI),因为存在功能独立的伪微分算子 $$P_2,\dots P_n$$ P 2 ,⋯ P n with $$[P_i,P_j] =0$$ [ P i , P j ] = 0 , $$i,j=1,\dots n$$ i , j = 1 , ⋯ n 。我们研究系统的联合特征函数 $$u_h$$ uh $$\{P_i\}_{i=1}^n$$ { P i } i = 1 n 和 $$P_1u_h=E_1u_h +o(1)$$ P 1 uh = E 1 uh + o ( 1 ) 。在定理 1 中,我们首先对 M 中典型点的标准 Hörmander 边界进行多项式改进。在二维和三维中,这些估计与哈代指数 $$h^{-\frac{1-n}{4}}$$ h - 1 - n 4 一致,并且在更高维度上我们获得了 $$h^{\frac{1 }{2}}$$ h 1 2 越过荷曼德边界。在我们的第二个主要结果(定理 3 )中,在 QCI 系统的实分析假设下,我们给出了不变拉格朗日环面投影之外点的联合特征函数的指数衰减估计;即在点 $$x\in M$$ x ∈ M 在“微局部禁止”区域 $$p_1^{-1}(E_1)\cap \dots\cap p_n^{-1}(E_n)\cap T^*_xM=\emptyset .$$ p 1 - 1 ( E 1 ) ∩ ⋯ ∩ pn - 1 ( E n ) ∩ T x ∗ M = ∅ . 这些边界在不变环的投影附近局部尖锐。我们在不变拉格朗日环面投影之外的点处给出联合特征函数的指数衰减估计;即在点 $$x\in M$$ x ∈ M 在“微局部禁止”区域 $$p_1^{-1}(E_1)\cap \dots\cap p_n^{-1}(E_n)\cap T^*_xM=\emptyset .$$ p 1 - 1 ( E 1 ) ∩ ⋯ ∩ pn - 1 ( E n ) ∩ T x ∗ M = ∅ . 这些边界在不变环的投影附近局部尖锐。我们在不变拉格朗日环面投影之外的点处给出联合特征函数的指数衰减估计;即在点 $$x\in M$$ x ∈ M 在“微局部禁止”区域 $$p_1^{-1}(E_1)\cap \dots\cap p_n^{-1}(E_n)\cap T^*_xM=\emptyset .$$ p 1 - 1 ( E 1 ) ∩ ⋯ ∩ pn - 1 ( E n ) ∩ T x ∗ M = ∅ . 这些边界在不变环的投影附近局部是尖锐的。