We present a number of new results about range searching for colored (or "categorical") data: 1. For a set of $n$ colored points in three dimensions, we describe randomized data structures with $O(n\mathop{\rm polylog}n)$ space that can report the distinct colors in any query orthogonal range (axis-aligned box) in $O(k\mathop{\rm polyloglog} n)$ expected time, where $k$ is the number of distinct colors in the range, assuming that coordinates are in $\{1,\ldots,n\}$. Previous data structures require $O(\frac{\log n}{\log\log n} + k)$ query time. Our result also implies improvements in higher constant dimensions. 2. Our data structures can be adapted to halfspace ranges in three dimensions (or circular ranges in two dimensions), achieving $O(k\log n)$ expected query time. Previous data structures require $O(k\log^2n)$ query time. 3. For a set of $n$ colored points in two dimensions, we describe a data structure with $O(n\mathop{\rm polylog}n)$ space that can answer colored "type-2" range counting queries: report the number of occurrences of every distinct color in a query orthogonal range. The query time is $O(\frac{\log n}{\log\log n} + k\log\log n)$, where $k$ is the number of distinct colors in the range. Naively performing $k$ uncolored range counting queries would require $O(k\frac{\log n}{\log\log n})$ time. Our data structures are designed using a variety of techniques, including colored variants of randomized incremental construction (which may be of independent interest), colored variants of shallow cuttings, and bit-packing tricks.

中文翻译：

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彩色范围搜索的进一步结果

我们提出了一些关于范围搜索彩色（或“分类”）数据的新结果： 1. 对于三个维度中的一组 $n$ 彩色点，我们用 $O(n\mathop{\rm polylog}n)$ 空间，可以在 $O(k\mathop{\rm polyloglog} n)$ 预期时间内报告任何查询正交范围（轴对齐框）中的不同颜色，其中 $k$ 是不同颜色的数量范围内的颜色，假设坐标在 $\{1,\ldots,n\}$ 中。以前的数据结构需要 $O(\frac{\log n}{\log\log n} + k)$ 查询时间。我们的结果还意味着更高的恒定维度的改进。2.我们的数据结构可以适应三个维度的halfspace范围（或二维的圆形范围），实现$O(k\log n)$预期查询时间。以前的数据结构需要 $O(k\log^2n)$ 查询时间。3. 对于二维的一组 $n$ 彩色点，我们描述了一个具有 $O(n\mathop{\rm polylog}n)$ 空间的数据结构，可以回答彩色的“type-2”范围计数查询：报告数字查询正交范围内每种不同颜色的出现次数。查询时间为 $O(\frac{\log n}{\log\log n} + k\log\log n)$，其中 $k$ 是范围内不同颜色的数量。天真地执行 $k$ 无色范围计数查询需要 $O(k\frac{\log n}{\log\log n})$ 时间。我们的数据结构是使用各种技术设计的，包括随机增量构造的彩色变体（可能是独立的兴趣）、浅切割的彩色变体和位打包技巧。我们描述了一个具有 $O(n\mathop{\rm polylog}n)$ 空间的数据结构，它可以回答彩色的“type-2”范围计数查询：报告查询正交范围内每种不同颜色的出现次数。查询时间为 $O(\frac{\log n}{\log\log n} + k\log\log n)$，其中 $k$ 是范围内不同颜色的数量。天真地执行 $k$ 无色范围计数查询需要 $O(k\frac{\log n}{\log\log n})$ 时间。我们的数据结构是使用各种技术设计的，包括随机增量构造的彩色变体（可能是独立的兴趣）、浅切割的彩色变体和位打包技巧。我们描述了一个具有 $O(n\mathop{\rm polylog}n)$ 空间的数据结构，它可以回答彩色的“type-2”范围计数查询：报告查询正交范围内每种不同颜色的出现次数。查询时间为 $O(\frac{\log n}{\log\log n} + k\log\log n)$，其中 $k$ 是范围内不同颜色的数量。天真地执行 $k$ 无色范围计数查询需要 $O(k\frac{\log n}{\log\log n})$ 时间。我们的数据结构是使用各种技术设计的，包括随机增量构造的彩色变体（可能是独立的兴趣）、浅切割的彩色变体和位打包技巧。查询时间为 $O(\frac{\log n}{\log\log n} + k\log\log n)$，其中 $k$ 是范围内不同颜色的数量。天真地执行 $k$ 无色范围计数查询需要 $O(k\frac{\log n}{\log\log n})$ 时间。我们的数据结构是使用各种技术设计的，包括随机增量构造的彩色变体（可能是独立的兴趣）、浅切割的彩色变体和位打包技巧。查询时间为 $O(\frac{\log n}{\log\log n} + k\log\log n)$，其中 $k$ 是范围内不同颜色的数量。天真地执行 $k$ 无色范围计数查询需要 $O(k\frac{\log n}{\log\log n})$ 时间。我们的数据结构是使用各种技术设计的，包括随机增量构造的彩色变体（可能是独立的兴趣）、浅切割的彩色变体和位打包技巧。