Abstract Let A be an infinite non-empty subset of N . For each n ∈ N , define r A , A ( n ) : = | { ( a , b ) : a , b ∈ A , a + b = n } | and R A , A ( n ) : = ∑ j ≤ n r A , A ( j ) . We show that if the function R A , A ( n ) is well-distributed in some sense, then it can't be very well-distributed. Explicitly, if for some constant c > 0 , lim sup n → ∞ | R A , A ( n ) − c n | n 1 4 + ∞ then for some constant δ > 0 , the set { n ∈ N : | R A , A ( n ) − c n | ≥ δ n 1 4 } has a positive lower density. This result implies the well-known Erdős-Fuchs theorem. And the similar generalization for multi-sum is obtained, too.

中文翻译：

---

N上加性代表函数的振荡定理

Abstract 令 A 是 N 的无限非空子集。对于每个 n ∈ N，定义 r A , A ( n ) : = | { ( a , b ) : a , b ∈ A , a + b = n } | 和 RA , A ( n ) : = ∑ j ≤ nr A , A ( j ) 。我们证明，如果函数 RA , A ( n ) 在某种意义上是良好分布的，那么它就不可能是非常良好分布的。明确地，如果对于某个常数 c > 0 ， lim sup n → ∞ | RA , A ( n ) − cn | n 1 4 + ∞ 那么对于某个常数 δ > 0 ，集合 { n ∈ N : | RA , A ( n ) − cn | ≥ δ n 1 4 } 具有正的较低密度。这个结果暗示了著名的 Erdős-Fuchs 定理。并且也得到了对多和的类似推广。