The two-way finite automaton with quantum and classical states (2QCFA), defined by Ambainis and Watrous, is a model of quantum computation whose quantum part is extremely limited; however, as they showed, 2QCFA are surprisingly powerful: a 2QCFA, with a single qubit, can recognize, with bounded error, the language $L_{eq}=\{a^m b^m :m \in \mathbb{N}\}$ in expected polynomial time and the language $L_{pal}=\{w \in \{a,b\}^*:w \text{ is a palindrome}\}$ in expected exponential time. We further demonstrate the power of 2QCFA by showing that they can recognize the word problems of many groups. In particular 2QCFA, with a single qubit and algebraic number transition amplitudes, can recognize, with bounded error, the word problem of any finitely generated virtually abelian group in expected polynomial time, as well as the word problems of a large class of linear groups in expected exponential time. This latter class (properly) includes all groups with context-free word problem. We also exhibit results for 2QCFA with any constant number of qubits. As a corollary, we obtain a direct improvement on the original Ambainis and Watrous result by showing that $L_{eq}$ can be recognized by a 2QCFA with better parameters. As a further corollary, we show that 2QCFA can recognize certain non-context-free languages in expected polynomial time. In a companion paper, we prove matching lower bounds, thereby showing that the class of languages recognizable with bounded error by a 2QCFA in expected $\mathit{subexponential}$ time is properly contained in the class of languages recognizable with bounded error by a 2QCFA in expected $\mathit{exponential}$ time.

中文翻译：

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单个量子位的力量：双向量子有限自动机和单词问题

Ambainis 和 Watrous 定义的具有量子态和经典态的双向有限自动机（2QCFA）是一种量子计算模型，其量子部分极其有限；然而，正如他们所展示的，2QCFA 出奇的强大：一个 2QCFA，具有单个量子位，可以识别语言 $L_{eq}=\{a^mb^m :m \in \mathbb{N} \}$ 在预期多项式时间内，语言 $L_{pal}=\{w \in \{a,b\}^*:w \text{ 是预期指数时间内的回文}\}$。我们通过证明 2QCFA 可以识别许多组的单词问题进一步证明了 2QCFA 的威力。特别是 2QCFA，具有单个量子位和代数数跃迁幅度，可以在有界误差的情况下识别任何在预期多项式时间内有限生成的虚拟阿贝尔群的词问题，以及在预期指数时间内的一大类线性群的单词问题。后一类（正确地）包括所有具有上下文无关单词问题的组。我们还展示了 2QCFA 与任何恒定数量的量子比特的结果。作为推论，我们通过证明 $L_{eq}$ 可以被具有更好参数的 2QCFA 识别，从而获得了对原始 Ambainis 和 Watrous 结果的直接改进。作为进一步的推论，我们表明 2QCFA 可以在预期的多项式时间内识别某些非上下文无关的语言。在一篇配套论文中，我们证明了匹配下界，从而表明在预期的 $\mathit{subexponential}$ 时间内可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类正确包含在可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类中在预期的 $\mathit{exponential}$ 时间内。后一类（正确地）包括所有具有上下文无关单词问题的组。我们还展示了 2QCFA 与任何恒定数量的量子比特的结果。作为推论，我们通过证明 $L_{eq}$ 可以被具有更好参数的 2QCFA 识别，从而获得了对原始 Ambainis 和 Watrous 结果的直接改进。作为进一步的推论，我们表明 2QCFA 可以在预期的多项式时间内识别某些非上下文无关的语言。在一篇配套论文中，我们证明了匹配下界，从而表明在预期的 $\mathit{subexponential}$ 时间内可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类正确包含在可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类中在预期的 $\mathit{exponential}$ 时间内。后一类（正确地）包括所有具有上下文无关单词问题的组。我们还展示了 2QCFA 与任何恒定数量的量子比特的结果。作为推论，我们通过证明 $L_{eq}$ 可以被具有更好参数的 2QCFA 识别，从而获得了对原始 Ambainis 和 Watrous 结果的直接改进。作为进一步的推论，我们表明 2QCFA 可以在预期的多项式时间内识别某些非上下文无关的语言。在一篇配套论文中，我们证明了匹配下界，从而表明在预期的 $\mathit{subexponential}$ 时间内可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类正确包含在可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类中在预期的 $\mathit{exponential}$ 时间内。我们还展示了 2QCFA 与任何恒定数量的量子比特的结果。作为推论，我们通过证明 $L_{eq}$ 可以被具有更好参数的 2QCFA 识别，从而获得了对原始 Ambainis 和 Watrous 结果的直接改进。作为进一步的推论，我们表明 2QCFA 可以在预期的多项式时间内识别某些非上下文无关的语言。在一篇配套论文中，我们证明了匹配下界，从而表明在预期的 $\mathit{subexponential}$ 时间内可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类正确包含在可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类中在预期的 $\mathit{exponential}$ 时间内。我们还展示了 2QCFA 与任何恒定数量的量子比特的结果。作为推论，我们通过证明 $L_{eq}$ 可以被具有更好参数的 2QCFA 识别，从而获得了对原始 Ambainis 和 Watrous 结果的直接改进。作为进一步的推论，我们表明 2QCFA 可以在预期的多项式时间内识别某些非上下文无关的语言。在一篇配套论文中，我们证明了匹配下界，从而表明在预期的 $\mathit{subexponential}$ 时间内可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类正确包含在可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类中在预期的 $\mathit{exponential}$ 时间内。我们通过证明 $L_{eq}$ 可以被具有更好参数的 2QCFA 识别，从而获得了对原始 Ambainis 和 Watrous 结果的直接改进。作为进一步的推论，我们表明 2QCFA 可以在预期的多项式时间内识别某些非上下文无关的语言。在一篇配套论文中，我们证明了匹配下界，从而表明在预期的 $\mathit{subexponential}$ 时间内可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类正确包含在可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类中在预期的 $\mathit{exponential}$ 时间内。我们通过证明 $L_{eq}$ 可以被具有更好参数的 2QCFA 识别，从而获得了对原始 Ambainis 和 Watrous 结果的直接改进。作为进一步的推论，我们表明 2QCFA 可以在预期的多项式时间内识别某些非上下文无关的语言。在一篇配套论文中，我们证明了匹配下界，从而表明在预期的 $\mathit{subexponential}$ 时间内可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类正确包含在可通过 2QCFA 以有界错误识别的语言类中在预期的 $\mathit{exponential}$ 时间内。