In the present paper, we study extreme negative dependence focussing on the concordance order for copulas. With the absence of a least element for dimensions $$d\ge 3$$ d ≥ 3 , the set of all minimal elements in the collection of all copulas turns out to be a natural and quite important extreme negative dependence concept. We investigate several sufficient conditions, and we provide a necessary condition for a copula to be minimal. The sufficient conditions are related to the extreme negative dependence concept of d -countermonotonicity and the necessary condition is related to the collection of all copulas minimizing multivariate Kendall’s tau. The concept of minimal copulas has already been proved to be useful in various continuous and concordance order preserving optimization problems including variance minimization and the detection of lower bounds for certain measures of concordance. We substantiate this key role of minimal copulas by showing that every continuous and concordance order preserving functional on copulas is minimized by some minimal copula, and, in the case the continuous functional is even strictly concordance order preserving, it is minimized by minimal copulas only. Applying the above results, we may conclude that every minimizer of Spearman’s rho is also a minimizer of Kendall’s tau.

中文翻译：

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关于一致性命令下的最小 Copulas

在本文中，我们研究了极端负依赖，重点是 copula 的一致性顺序。由于缺少维度 $$d\ge 3$$ d ≥ 3 的最小元素，所有 copula 集合中所有最小元素的集合被证明是一个自然且非常重要的极端负依赖概念。我们研究了几个充分条件，我们提供了一个使 copula 最小的必要条件。充分条件与 d -反单调性的极端负相关概念有关，必要条件与最小化多元 Kendall's tau 的所有 copula 的集合有关。最小联结的概念已被证明可用于各种连续和保持一致性顺序的优化问题，包括方差最小化和某些一致性度量的下限检测。我们通过证明 copula 上的每个连续和保持一致顺序的函数都被一些最小 copula 最小化来证实最小 copula 的这个关键作用，并且，在连续泛函甚至严格保持一致顺序的情况下，它仅通过最小 copula 最小化。应用上述结果，我们可以得出结论，Spearman's rho 的每个极小值也是 Kendall's tau 的极小值。我们通过证明 copula 上的每个连续和保持一致顺序的函数都被一些最小 copula 最小化来证实最小 copula 的这个关键作用，并且，在连续泛函甚至严格保持一致顺序的情况下，它仅通过最小 copula 最小化。应用上述结果，我们可以得出结论，Spearman's rho 的每个极小值也是 Kendall's tau 的极小值。我们通过证明 copula 上的每个连续和保持一致顺序的函数都被一些最小 copula 最小化来证实最小 copula 的这个关键作用，并且，在连续泛函甚至严格保持一致顺序的情况下，它仅通过最小 copula 最小化。应用上述结果，我们可以得出结论，Spearman's rho 的每个极小值也是 Kendall's tau 的极小值。