In zero-temperature Glauber dynamics, vertices of a graph are given i.i.d. initial spins $$\sigma _x(0)$$ σ x ( 0 ) from $$\{-1,+1\}$$ { - 1 , + 1 } with $${\mathbb {P}}_p(\sigma _x(0) = +1)=p$$ P p ( σ x ( 0 ) = + 1 ) = p , and they update their spins at the arrival times of i.i.d. Poisson processes to agree with a majority of their neighbors. We study this process on the 3-regular tree $${\mathbb {T}}_3$$ T 3 , where it is known that the critical threshold $$p_c$$ p c , below which $${\mathbb {P}}_p$$ P p -a.s. all spins fixate to $$-1$$ - 1 , is strictly less than 1/2. Defining $$\theta (p)$$ θ ( p ) to be the $${\mathbb {P}}_p$$ P p -probability that a vertex fixates to $$+1$$ + 1 , we show that $$\theta $$ θ is a continuous function on [0, 1], so that, in particular, $$\theta (p_c)=0$$ θ ( p c ) = 0 . To do this, we introduce a new continuous-spin process we call the median process, which gives a coupling of all the measures $${\mathbb {P}}_p$$ P p . Along the way, we study the time-infinity agreement clusters of the median process, show that they are a.s. finite, and deduce that all continuous spins flip finitely often. In the second half of the paper, we show a correlation decay statement for the discrete spins under $${\mathbb {P}}_p$$ P p for a.e. value of p . The proof relies on finiteness of a vertex’s “trace” in the median process to derive a stability of discrete spins under finite resampling. Last, we use our methods to answer a question of Howard (J Appl Probab 37:736–747, 2000) on the emergence of spin chains in $${\mathbb {T}}_3$$ T 3 in finite time.

中文翻译：

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三正则树和中值过程的零温芒硝动力学

在零温芒芒动力学中，图的顶点被赋予 iid 初始自旋 $$\sigma _x(0)$$ σ x ( 0 ) from $$\{-1,+1\}$$ { - 1 , + 1 } 与 $${\mathbb {P}}_p(\sigma _x(0) = +1)=p$$ P p ( σ x ( 0 ) = + 1 ) = p ，并且他们在iid泊松过程的到达时间与大多数邻居一致。我们在三正则树 $${\mathbb {T}}_3$$ T 3 上研究这个过程，其中已知临界阈值 $$p_c$$ pc ，低于该阈值 $${\mathbb {P} }_p$$ P p - 因为所有自旋都固定在 $$-1$$ - 1 上，所以严格小于 1/2。将 $$\theta (p)$$ θ ( p ) 定义为 $${\mathbb {P}}_p$$ P p - 顶点注视 $$+1$$ + 1 的概率，我们证明$$\theta $$ θ 是 [0, 1] 上的连续函数，因此，特别是 $$\theta (p_c)=0$$ θ ( pc ) = 0 。去做这个，我们引入了一个新的连续自旋过程，我们称之为中值过程，它给出了所有度量 $${\mathbb {P}}_p$$ P p 的耦合。在此过程中，我们研究了中值过程的时间无限一致性簇，证明它们是有限的，并推断所有连续自旋的翻转频率都是有限的。在论文的后半部分，我们展示了 $${\mathbb {P}}_p$$ P p 下的离散自旋的相关衰减陈述，用于 p 的 ae 值。该证明依赖于中值过程中顶点“迹线”的有限性，以推导出有限重采样下离散自旋的稳定性。最后，我们使用我们的方法来回答 Howard (J Appl Probab 37:736–747, 2000) 关于在有限时间内在 $${\mathbb {T}}_3$$ T 3 中出现自旋链的问题。这给出了所有措施的耦合 $${\mathbb {P}}_p$$ P p 。在此过程中，我们研究了中值过程的时间无限一致性簇，证明它们是有限的，并推断所有连续自旋的翻转频率都是有限的。在论文的后半部分，我们展示了 $${\mathbb {P}}_p$$ P p 下的离散自旋的相关衰减陈述，用于 p 的 ae 值。该证明依赖于中值过程中顶点“迹线”的有限性，以推导出有限重采样下离散自旋的稳定性。最后，我们使用我们的方法来回答 Howard (J Appl Probab 37:736–747, 2000) 关于在有限时间内在 $${\mathbb {T}}_3$$ T 3 中出现自旋链的问题。这给出了所有措施的耦合 $${\mathbb {P}}_p$$ P p 。在此过程中，我们研究了中值过程的时间无限一致性簇，证明它们是有限的，并推断所有连续自旋的翻转频率都是有限的。在论文的后半部分，我们展示了 $${\mathbb {P}}_p$$ P p 下的离散自旋的相关衰减陈述，用于 p 的 ae 值。该证明依赖于中值过程中顶点“迹线”的有限性，以推导出有限重采样下离散自旋的稳定性。最后，我们使用我们的方法来回答 Howard (J Appl Probab 37:736–747, 2000) 关于在有限时间内在 $${\mathbb {T}}_3$$ T 3 中出现自旋链的问题。并推断出所有连续自旋的翻转频率都是有限的。在论文的后半部分，我们展示了 $${\mathbb {P}}_p$$ P p 下的离散自旋的相关衰减陈述，用于 p 的 ae 值。该证明依赖于中值过程中顶点“迹线”的有限性，以推导出有限重采样下离散自旋的稳定性。最后，我们使用我们的方法来回答 Howard (J Appl Probab 37:736–747, 2000) 关于在有限时间内在 $${\mathbb {T}}_3$$ T 3 中出现自旋链的问题。并推断出所有连续自旋的翻转频率都是有限的。在论文的后半部分，我们展示了 $${\mathbb {P}}_p$$ P p 下的离散自旋的相关衰减陈述，用于 p 的 ae 值。该证明依赖于中值过程中顶点“迹线”的有限性，以推导出有限重采样下离散自旋的稳定性。最后，我们使用我们的方法来回答 Howard (J Appl Probab 37:736–747, 2000) 关于在有限时间内在 $${\mathbb {T}}_3$$ T 3 中出现自旋链的问题。