Given a point $$\xi $$ ξ on a complex abelian variety A , its abelian logarithm can be expressed as a linear combination of the periods of A with real coefficients, the Betti coordinates of $$\xi $$ ξ . When $$(A, \xi )$$ ( A , ξ ) varies in an algebraic family, these coordinates define a system of multivalued real-analytic functions. Computing its rank (in the sense of differential geometry) becomes important when one is interested about how often $$\xi $$ ξ takes a torsion value (for instance, Manin’s theorem of the kernel implies that this coordinate system is constant in a family without fixed part only when $$\xi $$ ξ is a torsion section). We compute this rank in terms of the rank of a certain contracted form of the Kodaira–Spencer map associated to $$(A, \xi )$$ ( A , ξ ) (assuming A without fixed part, and $${\mathbb {Z}}\xi $$ Z ξ Zariski-dense in A ), and deduce some explicit lower bounds in special situations. For instance, we determine this rank in relative dimension $$\le 3$$ ≤ 3 , and study in detail the case of jacobians of families of hyperelliptic curves. Our main application, obtained in collaboration with Z. Gao, states that if $$A\rightarrow S$$ A → S is a principally polarized abelian scheme of relative dimension g which has no non-trivial endomorphism (on any finite covering), and if the image of S in the moduli space $${{\mathcal {A}}}_g$$ A g has dimension at least g , then the Betti map of any non-torsion section $$\xi $$ ξ is generically a submersion, so that $$\,\xi ^{-1}A_{\mathrm{tors}}$$ ξ - 1 A tors is dense in $$S({\mathbb {C}})$$ S ( C ) .

中文翻译：

---

与阿贝尔方案的一部分相关联的 Betti 地图

给定复数阿贝尔变体 A 上的点 $$\xi $$ ξ，其阿贝尔对数可以表示为 A 的周期与实系数的线性组合，即 $$\xi $$ ξ 的 Betti 坐标。当 $$(A, \xi )$$ ( A , ξ ) 在代数族中变化时，这些坐标定义了一个多值实解析函数系统。当人们对 $$\xi $$ ξ 取一个扭转值的频率感兴趣时，计算它的秩（在微分几何的意义上）变得很重要（例如，核的曼宁定理意味着这个坐标系在一个族中是恒定的只有当 $$\xi $$ ξ 是扭转截面时才没有固定部分）。我们根据与 $$(A, \xi )$$ ( A , ξ ) 相关联的 Kodaira-Spencer 映射的某种收缩形式的等级来计算这个等级（假设 A 没有固定部分，和 $${\mathbb {Z}}\xi $$ Z ξ Zariski-dense in A )，并在特殊情况下推导出一些明确的下界。例如，我们在相对维数 $$\le 3$$ ≤ 3 上确定这个秩，并详细研究了超椭圆曲线族雅可比的情况。我们与 Z. Gao 合作获得的主要应用表明，如果 $$A\rightarrow S$$ A → S 是相对维度 g 的主要极化阿贝尔方案，它没有非平凡的内同态（在任何有限覆盖上），如果 S 在模空间 $${{\mathcal {A}}}_g$$ A g 中的图像的维数至少为 g ，则任何非扭转截面 $$\xi $$ ξ 的 Betti 映射为一般是淹没，所以 $$\,\xi ^{-1}A_{\mathrm{tors}}$$ ξ - 1 A tors 在 $$S({\mathbb {C}})$$ S 中是密集的（ C ） 。例如，我们在相对维数 $$\le 3$$ ≤ 3 上确定这个秩，并详细研究了超椭圆曲线族雅可比的情况。我们与 Z. Gao 合作获得的主要应用表明，如果 $$A\rightarrow S$$ A → S 是相对维度 g 的主要极化阿贝尔方案，它没有非平凡的内同态（在任何有限覆盖上），如果 S 在模空间 $${{\mathcal {A}}}_g$$ A g 中的图像的维数至少为 g ，则任何非扭转截面 $$\xi $$ ξ 的 Betti 映射为一般是淹没，所以 $$\,\xi ^{-1}A_{\mathrm{tors}}$$ ξ - 1 A tors 在 $$S({\mathbb {C}})$$ S 中是密集的（ C ） 。例如，我们在相对维数 $$\le 3$$ ≤ 3 上确定这个秩，并详细研究了超椭圆曲线族雅可比的情况。我们与 Z. Gao 合作获得的主要应用表明，如果 $$A\rightarrow S$$ A → S 是相对维度 g 的主要极化阿贝尔方案，它没有非平凡的内同态（在任何有限覆盖上），如果 S 在模空间 $${{\mathcal {A}}}_g$$ A g 中的图像的维数至少为 g ，则任何非扭转截面 $$\xi $$ ξ 的 Betti 映射为一般是淹没，所以 $$\,\xi ^{-1}A_{\mathrm{tors}}$$ ξ - 1 A tors 在 $$S({\mathbb {C}})$$ S 中是密集的（ C ） 。