We study the Newton polytopes of determinants of square matrices defined over rings of twisted Laurent polynomials. We prove that such Newton polytopes are single polytopes (rather than formal differences of two polytopes); this result can be seen as analogous to the fact that determinants of matrices over commutative Laurent polynomial rings are themselves polynomials, rather than rational functions. We also exhibit a relationship between the Newton polytopes and invertibility of the matrices over Novikov rings, thus establishing a connection with the invariants of Bieri–Neumann–Strebel (BNS) via a theorem of Sikorav. We offer several applications: we reprove Thurston’s theorem on the existence of a polytope controlling the BNS invariants of a 3-manifold group; we extend this result to free-by-cyclic groups, and the more general descending HNN extensions of free groups. We also show that the BNS invariants of Poincaré duality groups of type $$\mathtt {F}_{}$$ F in dimension 3 and groups of deficiency one are determined by a polytope, when the groups are assumed to be agrarian, that is their integral group rings embed in skew-fields. The latter result partially confirms a conjecture of Friedl. We also deduce the vanishing of the Newton polytopes associated to elements of the Whitehead groups of many groups satisfying the Atiyah conjecture. We use this to show that the $$L^2$$ L 2 -torsion polytope of Friedl–Lück is invariant under homotopy. We prove the vanishing of this polytope in the presence of amenability, thus proving a conjecture of Friedl–Lück–Tillmann.

中文翻译：

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通过牛顿多胞体的 Bieri-Neumann-Strebel 不变量

我们研究了在扭曲洛朗多项式环上定义的方阵行列式的牛顿多面体。我们证明这样的牛顿多面体是单一的多面体（而不是两个多面体的形式差异）；这个结果可以看作类似于以下事实：可交换洛朗多项式环上矩阵的行列式本身就是多项式，而不是有理函数。我们还展示了牛顿多面体与诺维科夫环上矩阵的可逆性之间的关系，从而通过 Sikorav 定理建立了与 Bieri-Neumann-Strebel (BNS) 不变量的联系。我们提供了几种应用：我们推翻了 Thurston 定理，即存在控制 3 流形群的 BNS 不变量的多胞体；我们将此结果扩展到自由循环群，以及更一般的自由组的降序 HNN 扩展。我们还表明，当假设这些组是农业的时，第 3 维中 $$\mathtt {F}_{}$$ F 类型的 Poincaré 对偶组的 BNS 不变量和缺陷组由多胞体决定是它们嵌入斜场的积分群环。后一个结果部分证实了弗里德尔的猜想。我们还推导出了与满足 Atiyah 猜想的许多群的怀特黑德群的元素相关的牛顿多胞体的消失。我们用它来证明 Friedl–Lück 的 $$L^2$$ L 2 -torsion polytope 在同伦下是不变的。我们证明了这种多胞体在存在适应性的情况下消失了，从而证明了 Friedl-Lück-Tillmann 的猜想。我们还表明，当假设这些组是农业的时，第 3 维中 $$\mathtt {F}_{}$$ F 类型的 Poincaré 对偶组的 BNS 不变量和缺陷组由多胞体决定是它们嵌入斜场的积分群环。后一个结果部分证实了弗里德尔的猜想。我们还推导出了与满足 Atiyah 猜想的许多群的怀特黑德群的元素相关的牛顿多胞体的消失。我们用它来证明 Friedl–Lück 的 $$L^2$$ L 2 -扭转多胞体在同伦下是不变的。我们证明了这种多胞体在存在适应性的情况下消失了，从而证明了 Friedl-Lück-Tillmann 的猜想。我们还表明，当假设这些组是农业的时，第 3 维中 $$\mathtt {F}_{}$$ F 类型的 Poincaré 对偶组的 BNS 不变量和缺陷组由多胞体决定是它们嵌入斜场的积分群环。后一个结果部分证实了弗里德尔的猜想。我们还推导出了与满足 Atiyah 猜想的许多群的怀特黑德群的元素相关的牛顿多胞体的消失。我们用它来证明 Friedl–Lück 的 $$L^2$$ L 2 -扭转多胞体在同伦下是不变的。我们证明了这种多胞体在存在适应性的情况下消失了，从而证明了 Friedl-Lück-Tillmann 的猜想。那是它们嵌入斜场的整体群环。后一个结果部分证实了弗里德尔的猜想。我们还推导出了与满足 Atiyah 猜想的许多群的怀特黑德群的元素相关的牛顿多胞体的消失。我们用它来证明 Friedl–Lück 的 $$L^2$$ L 2 -扭转多胞体在同伦下是不变的。我们证明了这种多胞体在存在适应性的情况下消失了，从而证明了 Friedl-Lück-Tillmann 的猜想。那是它们嵌入斜场的整体群环。后一个结果部分证实了弗里德尔的猜想。我们还推导出了与满足 Atiyah 猜想的许多群的怀特黑德群的元素相关的牛顿多胞体的消失。我们用它来证明 Friedl–Lück 的 $$L^2$$ L 2 -扭转多胞体在同伦下是不变的。我们证明了这种多胞体在存在适应性的情况下消失了，从而证明了 Friedl-Lück-Tillmann 的猜想。