We prove that graphs G, G' satisfy the same sentences of first-order logic with counting of quantifier rank at most k if and only if they are homomorphism-indistinguishable over the class of all graphs of tree depth at most k. Here G, G' are homomorphism-indistinguishable over a class C of graphs if for each graph F in C, the number of homomorphisms from F to G equals the number of homomorphisms from F to G'.

中文翻译：

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计数有界树深度同态

我们证明图 G, G' 满足具有最多 k 数量词秩计数的一阶逻辑的相同句子，当且仅当它们在树深度最多为 k 的所有图的类上是同态不可区分的。如果对于 C 中的每个图 F，从 F 到 G 的同态数等于从 F 到 G' 的同态数，则 G、G' 在 C 类图上是同态不可区分的。