We prove sharp inequalities for the symmetric-decreasing rearrangement in Fourier space of functions in $\mathbb{R}^d$. Our main result can be applied to a general class of (pseudo-)differential operators in $\mathbb{R}^d$ of arbitrary order with radial Fourier multipliers. For example, we can take any positive power of the Laplacian $(-\Delta)^s$ with $s> 0$ and, in particular, any polyharmonic operator $(-\Delta)^m$ with integer $m \geq 1$. As applications, we prove radial symmetry and real-valuedness (up to trivial symmetries) of optimizers for: i) Gagliardo-Nirenberg inequalities with derivatives of arbitrary order, ii) ground states for bi- and polyharmonic NLS, and iii) Adams-Moser-Trudinger type inequalities for $H^{d/2}(\mathbb{R}^d)$ in any dimension $d \geq 1$. As a technical key result, we solve a phase retrieval problem for the Fourier transform in $\mathbb{R}^d$. To achieve this, we classify the case of equality in the corresponding Hardy-Littlewood majorant problem for the Fourier transform in $\mathbb{R}^d$.

中文翻译：

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任意阶偏微分方程的傅立叶空间中的锐重排原理和对称结果

我们证明了 $\mathbb{R}^d$ 中函数的傅立叶空间中对称递减重排的尖锐不等式。我们的主要结果可以应用于具有径向傅立叶乘法器的任意阶数 $\mathbb{R}^d$ 中的一般类（伪）微分算子。例如，我们可以取任何具有 $s> 0$ 的拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s$ 的正幂，特别是任何具有整数 $m \geq 的多谐算子 $(-\Delta)^m$ 1美元。作为应用，我们证明了优化器的径向对称性和实值性（直至平凡的对称性）：i）具有任意阶导数的 Gagliardo-Nirenberg 不等式，ii）双和多谐 NLS 的基态，以及 iii）Adams-Moser -Trudinger 类型不等式 $H^{d/2}(\mathbb{R}^d)$ 在任何维度 $d \geq 1$ 中。作为技术关键结果，我们解决了 $\mathbb{R}^d$ 中傅立叶变换的相位检索问题。为了实现这一点，我们对 $\mathbb{R}^d$ 中傅立叶变换的相应 Hardy-Littlewood 主要问题中的相等情况进行分类。