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Constrained convex bodies with extremal affine surface areas
Journal of Functional Analysis ( IF 1.7 ) Pub Date : 2020-08-01 , DOI: 10.1016/j.jfa.2020.108531 O. Giladi , H. Huang , C. Schütt , E.M. Werner
Journal of Functional Analysis ( IF 1.7 ) Pub Date : 2020-08-01 , DOI: 10.1016/j.jfa.2020.108531 O. Giladi , H. Huang , C. Schütt , E.M. Werner
Given a convex body K in R^n and p in R, we introduce and study the extremal inner and outer affine surface areas IS_p(K) = sup_{K'\subseteq K} (as_p(K') ) and os_p(K)=inf_{K'\supseteq K} (as_p(K') ), where as_p(K') denotes the L_p-affine surface area of K', and the supremum is taken over all convex subsets of K and the infimum over all convex compact subsets containing K. The convex body that realizes IS_1(K) in dimension 2 was determined by Barany. He also showed that this body is the limit shape of lattice polytopes in K. In higher dimensions no results are known about the extremal bodies. We use a thin shell estimate of Guedon and Milman and the Lowner ellipsoid to give asymptotic estimates on the size of IS_p(K) and os_p(K). Surprisingly, both quantities are proportional to a power of volume.
中文翻译:
具有极值仿射表面积的约束凸体
给定 R^n 中的凸体 K 和 R 中的 p,我们引入并研究了极值内部和外部仿射表面积 IS_p(K) = sup_{K'\subseteq K} (as_p(K') ) 和 os_p(K )=inf_{K'\supseteq K} (as_p(K') ),其中 as_p(K') 表示 K' 的 L_p 仿射表面积,上界取自 K 的所有凸子集,下界取所有包含 K 的凸紧致子集。实现 2 维 IS_1(K) 的凸体由 Barany 确定。他还表明,这个物体是 K 中晶格多胞体的极限形状。在更高的维度上,没有关于极值物体的结果。我们使用 Guedon 和 Milman 的薄壳估计以及 Lowner 椭球来对 IS_p(K) 和 os_p(K) 的大小进行渐近估计。令人惊讶的是,这两个量都与体积的幂成正比。
更新日期:2020-08-01
中文翻译:
具有极值仿射表面积的约束凸体
给定 R^n 中的凸体 K 和 R 中的 p,我们引入并研究了极值内部和外部仿射表面积 IS_p(K) = sup_{K'\subseteq K} (as_p(K') ) 和 os_p(K )=inf_{K'\supseteq K} (as_p(K') ),其中 as_p(K') 表示 K' 的 L_p 仿射表面积,上界取自 K 的所有凸子集,下界取所有包含 K 的凸紧致子集。实现 2 维 IS_1(K) 的凸体由 Barany 确定。他还表明,这个物体是 K 中晶格多胞体的极限形状。在更高的维度上,没有关于极值物体的结果。我们使用 Guedon 和 Milman 的薄壳估计以及 Lowner 椭球来对 IS_p(K) 和 os_p(K) 的大小进行渐近估计。令人惊讶的是,这两个量都与体积的幂成正比。