We develop a polynomial method on finite fields to amplify the hardness of spare sets in nondeterministic time complexity classes on a randomized streaming model. One of our results shows that if there exists a $2^{n^{o(1)}}$-sparse set in $NTIME(2^{n^{o(1)}})$ that does not have any randomized streaming algorithm with $n^{o(1)}$ updating time, and $n^{o(1)}$ space, then $NEXP\not=BPP$, where a $f(n)$-sparse set is a language that has at most $f(n)$ strings of length $n$. We also show that if MCSP is $ZPP$-hard under polynomial time truth-table reductions, then $EXP\not=ZPP$.

中文翻译：

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稀疏集的硬度和最小电路尺寸问题

我们在有限域上开发了一种多项式方法，以在随机流模型上放大非确定性时间复杂度类中备用集的硬度。我们的一个结果表明，如果 $NTIME(2^{n^{o(1)}})$ 中存在一个 $2^{n^{o(1)}}$-sparse 集，它没有任何随机$n^{o(1)}$更新时间和$n^{o(1)}$空间的流算法，然后$NEXP\not=BPP$，其中$f(n)$-sparse set是最多有 $f(n)$ 个长度为 $n$ 的字符串的语言。我们还表明，如果 MCSP 在多项式时间真值表缩减下是 $ZPP$-hard，则 $EXP\not=ZPP$。