We study (quasi-)cohomological properties through an analysis of quantum Markov semi-groups. We construct higher order Hochschild cocycles using gradient forms associated with a quantum Markov semi-group. By using Schatten-$\mathcal{S}_p$ estimates we analyze when these cocycles take values in the coarse bimodule. For the 1-cocycles (the derivations) we show that under natural conditions they imply the Akemann-Ostrand property (using the Riesz transform). We apply this to $q$-Gaussian algebras $\Gamma_q(H)$. As a result $q$-Gaussians satisfy AO$^+$ for $| q | \leqslant \dim(H)^{-1/2}$. This includes a new range of $q$ in low dimensions compared to Shlyakhtenko.

中文翻译：

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q-高斯代数上的 L 2-上同调、导数和量子马尔可夫半群

我们通过对量子马尔可夫半群的分析来研究（准）上同调特性。我们使用与量子马尔可夫半群相关的梯度形式构建高阶 Hochschild cocycles。通过使用 Schatten-$\mathcal{S}_p$ 估计，我们分析了这些共环何时在粗双模中取值。对于 1-cocycles（推导），我们表明在自然条件下它们暗示了 Akemann-Ostrand 性质（使用 Riesz 变换）。我们将此应用于 $q$-Gaussian 代数 $\Gamma_q(H)$。结果 $q$-Gaussians 满足 AO$^+$ 对于 $| | | \leqslant \dim(H)^{-1/2}$。与 Shlyakhtenko 相比，这包括新的低维度 $q$ 范围。