Two decades ago, Chauve, Dulucq and Guibert showed that the number of rooted trees on the vertex set $[n+1]$ in which exactly $k$ children of the root are lower-numbered than the root is $\binom{n}{k} \, n^{n-k}$. Here I give a simpler proof of this result.

中文翻译：

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关于有根标记树的枚举的注记

二十年前，Chauve、Dulucq 和 Guibert 证明了顶点集 $[n+1]$ 上的有根树的数量，其中根的 $k$ 个孩子的编号小于根的编号是 $\binom{n {k} \, n^{nk}$。这里我给出这个结果的更简单的证明。