We study the algorithmic properties of the graph class Chordal-ke, that is, graphs that can be turned into a chordal graph by adding at most k edges or, equivalently, the class of graphs of fill-in at most k. We discover that a number of fundamental intractable optimization problems being parameterized by k admit subexponential algorithms on graphs from Chordal-ke. We identify a large class of optimization problems on Chordal-ke that admit algorithms with the typical running time 2^{O(\sqrt{k}\log k)}\cdot n^{O(1)}. Examples of the problems from this class are finding an independent set of maximum weight, finding a feedback vertex set or an odd cycle transversal of minimum weight, or the problem of finding a maximum induced planar subgraph. On the other hand, we show that for some fundamental optimization problems, like finding an optimal graph coloring or finding a maximum clique, are FPT on Chordal-ke when parameterized by k but do not admit subexponential in k algorithms unless ETH fails. Besides subexponential time algorithms, the class of Chordal-ke graphs appears to be appealing from the perspective of kernelization (with parameter k). While it is possible to show that most of the weighted variants of optimization problems do not admit polynomial in k kernels on Chordal-ke graphs, this does not exclude the existence of Turing kernelization and kernelization for unweighted graphs. In particular, we construct a polynomial Turing kernel for Weighted Clique on Chordal-ke graphs. For (unweighted) Independent Set we design polynomial kernels on two interesting subclasses of Chordal-ke, namely, Interval-ke and Split-ke graphs.

中文翻译：

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近弦图上的次指数参数化算法和核化

我们研究了图类 Chordal-ke 的算法特性，即最多可以通过添加 k 条边或等价地填充最多 k 的图类来将图变成弦图。我们发现许多由 k 参数化的基本棘手优化问题承认来自 Chordal-ke 的图上的亚指数算法。我们在 Chordal-ke 上确定了一大类优化问题，它们承认算法的典型运行时间为 2^{O(\sqrt{k}\log k)}\cdot n^{O(1)}。此类问题的示例是找到最大权重的独立集，找到反馈顶点集或最小权重的奇数环线，或者找到最大诱导平面子图的问题。另一方面，我们表明对于一些基本的优化问题，就像寻找最佳图着色或寻找最大集团一样，当由 k 参数化时，在 Chordal-ke 上是 FPT，但除非 ETH 失败，否则在 k 算法中不承认次指数。除了次指数时间算法之外，Chordal-ke 图类从内核化的角度来看似乎很有吸引力（带有参数 k）。虽然可以证明优化问题的大多数加权变体在 Chordal-ke 图上不承认 k 核中的多项式，但这并不排除图灵核化和未加权图的核化的存在。特别是，我们在 Chordal-ke 图上为加权团构建了一个多项式图灵核。对于（未加权的）独立集，我们在 Chordal-ke 的两个有趣子类上设计多项式内核，即 Interval-ke 和 Split-ke 图。当由 k 参数化时，是 Chordal-ke 上的 FPT，但不承认 k 算法中的次指数，除非 ETH 失败。除了次指数时间算法之外，Chordal-ke 图类从内核化的角度来看似乎很有吸引力（带有参数 k）。虽然可以证明优化问题的大多数加权变体在 Chordal-ke 图上不承认 k 核中的多项式，但这并不排除图灵核化和未加权图的核化的存在。特别是，我们在 Chordal-ke 图上为加权团构建了一个多项式图灵核。对于（未加权的）独立集，我们在 Chordal-ke 的两个有趣子类上设计多项式内核，即 Interval-ke 和 Split-ke 图。当由 k 参数化时，是 Chordal-ke 上的 FPT，但不承认 k 算法中的次指数，除非 ETH 失败。除了次指数时间算法之外，Chordal-ke 图类从内核化的角度来看似乎很有吸引力（带有参数 k）。虽然可以证明优化问题的大多数加权变体在 Chordal-ke 图上不承认 k 核中的多项式，但这并不排除图灵核化和未加权图的核化的存在。特别是，我们在 Chordal-ke 图上为加权团构建了一个多项式图灵核。对于（未加权的）独立集，我们在 Chordal-ke 的两个有趣子类上设计多项式内核，即 Interval-ke 和 Split-ke 图。从内核化的角度来看，Chordal-ke 图类似乎很有吸引力（使用参数 k）。虽然可以证明优化问题的大多数加权变体在 Chordal-ke 图上不承认 k 核中的多项式，但这并不排除图灵核化和未加权图的核化的存在。特别是，我们在 Chordal-ke 图上为加权团构建了一个多项式图灵核。对于（未加权的）独立集，我们在 Chordal-ke 的两个有趣子类上设计多项式内核，即 Interval-ke 和 Split-ke 图。从内核化的角度来看，Chordal-ke 图类似乎很有吸引力（使用参数 k）。虽然可以证明优化问题的大多数加权变体在 Chordal-ke 图上不承认 k 核中的多项式，但这并不排除图灵核化和未加权图的核化的存在。特别是，我们在 Chordal-ke 图上为加权团构建了一个多项式图灵核。对于（未加权的）独立集，我们在 Chordal-ke 的两个有趣子类上设计多项式内核，即 Interval-ke 和 Split-ke 图。这并不排除图灵核化和未加权图核化的存在。特别是，我们在 Chordal-ke 图上为加权团构建了一个多项式图灵核。对于（未加权的）独立集，我们在 Chordal-ke 的两个有趣子类上设计多项式内核，即 Interval-ke 和 Split-ke 图。这并不排除图灵核化和未加权图核化的存在。特别是，我们在 Chordal-ke 图上为加权团构建了一个多项式图灵核。对于（未加权的）独立集，我们在 Chordal-ke 的两个有趣子类上设计多项式内核，即 Interval-ke 和 Split-ke 图。