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A note on torsion subgroups of groups acting on finite-dimensional CAT(0) cube complexes
Discrete Mathematics ( IF 0.8 ) Pub Date : 2020-06-01 , DOI: 10.1016/j.disc.2020.111832 Anthony Genevois
Discrete Mathematics ( IF 0.8 ) Pub Date : 2020-06-01 , DOI: 10.1016/j.disc.2020.111832 Anthony Genevois
In this article, we state and prove a general criterion which prevents some groups from acting properly on finite-dimensional CAT(0) cube complexes. As an application, we show that, for every non-trivial finite group $F$, the lamplighter group $F \wr \mathbb{F}_2$ over a free group does not act properly on a finite-dimensional CAT(0) cube complex (although it acts properly on a infinite-dimensional CAT(0) cube complex). We also deduce from this general criterion that, roughly speaking, given a group $G$ acting on a CAT(0) cube complex of finite dimension and an infinite torsion subgroup $L \leq G$, either the normaliser $N_G(L)$ is close to be free abelian or, for every $k \geq 1$, $N_G(L)$ contains a non-abelian free subgroup commuting with a subgroup of $L$ of size $\geq k$.
中文翻译:
关于作用于有限维 CAT(0) 立方复形群的扭转子群的注解
在本文中,我们陈述并证明了一个通用准则,该准则阻止某些群在有限维 CAT(0) 立方体复形上正确操作。作为一个应用,我们证明,对于每个非平凡有限群 $F$,自由群上的点灯者群 $F \wr \mathbb{F}_2$ 在有限维 CAT(0) 上不能正确作用立方体复形(尽管它对无限维 CAT(0) 立方体复形起作用)。我们还从这个一般准则推导出,粗略地说,给定一个作用于有限维 CAT(0) 立方复形的群 $G$ 和一个无限扭转子群 $L\leq G$,要么是归一化器 $N_G(L) $ 接近于自由阿贝尔,或者,对于每个 $k \geq 1$,$N_G(L)$ 包含一个非阿贝尔自由子群与一个大小为 $\geq k$ 的 $L$ 子群交换。
更新日期:2020-06-01
中文翻译:
关于作用于有限维 CAT(0) 立方复形群的扭转子群的注解
在本文中,我们陈述并证明了一个通用准则,该准则阻止某些群在有限维 CAT(0) 立方体复形上正确操作。作为一个应用,我们证明,对于每个非平凡有限群 $F$,自由群上的点灯者群 $F \wr \mathbb{F}_2$ 在有限维 CAT(0) 上不能正确作用立方体复形(尽管它对无限维 CAT(0) 立方体复形起作用)。我们还从这个一般准则推导出,粗略地说,给定一个作用于有限维 CAT(0) 立方复形的群 $G$ 和一个无限扭转子群 $L\leq G$,要么是归一化器 $N_G(L) $ 接近于自由阿贝尔,或者,对于每个 $k \geq 1$,$N_G(L)$ 包含一个非阿贝尔自由子群与一个大小为 $\geq k$ 的 $L$ 子群交换。