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Linear differential equations with finite differential Galois group
Journal of Algebra ( IF 0.9 ) Pub Date : 2020-07-01 , DOI: 10.1016/j.jalgebra.2020.01.023 M. van der Put , C. Sanabria Malagón , J. Top
Journal of Algebra ( IF 0.9 ) Pub Date : 2020-07-01 , DOI: 10.1016/j.jalgebra.2020.01.023 M. van der Put , C. Sanabria Malagón , J. Top
For a differential operator $L$ of order $n$ over $C(z)$ with a finite (differential) Galois group $G\subset {\rm GL}(C^n)$, there is an algorithm, by M. van Hoeij and J.-A.~Weil, which computes the associated evaluation of the invariants $ev:C[X_1,\dots ,X_n]^G\rightarrow C(z)$. The procedure proposed here does the opposite: it uses a theorem of E.~Compoint and computes the operator $L$ from a given evaluation $h$. Moreover it solves a part of the inverse problem of producing $L$ for a given representation of a finite group $G$. Another part considered here, is finding irreducible $G$-invariant curves $Z\subset \mathbb{P}(C^n)$ with $Z/G$ of genus zero and constructing evaluations from this. The theory developed here is illustrated by various examples, and relates to and continues classical work of H.A.~Schwarz, G.~Fano, F.~Klein and A.~Hurwitz.
中文翻译:
有限微分伽罗瓦群的线性微分方程
对于具有有限(微分)伽罗瓦群 $G\subset {\rm GL}(C^n)$ 的 $C(z)$ 上的 $n$ 阶微分算子 $L$,有一个算法,由 M . van Hoeij 和 J.-A.~Weil,计算不变量 $ev:C[X_1,\dots,X_n]^G\rightarrowC(z)$ 的相关评估。此处提出的过程正好相反:它使用 E.~Compoint 的定理并根据给定的评估 $h$ 计算运算符 $L$。此外,它解决了为有限群 $G$ 的给定表示产生 $L$ 的逆问题的一部分。这里考虑的另一部分是找到不可约的 $G$-不变曲线 $Z\subset\mathbb{P}(C^n)$ 与 $Z/G$ 属零,并由此构建评估。此处开发的理论通过各种示例进行了说明,并涉及并延续了 HA~Schwarz、G.~Fano、F.~Klein 和 A.~Hurwitz 的经典著作。
更新日期:2020-07-01
中文翻译:
有限微分伽罗瓦群的线性微分方程
对于具有有限(微分)伽罗瓦群 $G\subset {\rm GL}(C^n)$ 的 $C(z)$ 上的 $n$ 阶微分算子 $L$,有一个算法,由 M . van Hoeij 和 J.-A.~Weil,计算不变量 $ev:C[X_1,\dots,X_n]^G\rightarrowC(z)$ 的相关评估。此处提出的过程正好相反:它使用 E.~Compoint 的定理并根据给定的评估 $h$ 计算运算符 $L$。此外,它解决了为有限群 $G$ 的给定表示产生 $L$ 的逆问题的一部分。这里考虑的另一部分是找到不可约的 $G$-不变曲线 $Z\subset\mathbb{P}(C^n)$ 与 $Z/G$ 属零,并由此构建评估。此处开发的理论通过各种示例进行了说明,并涉及并延续了 HA~Schwarz、G.~Fano、F.~Klein 和 A.~Hurwitz 的经典著作。