Abstract In this paper we show that for every positive integer m there exist positive integers x 1 , x 2 , M such that the sequence ( x n ) n = 1 ∞ defined by the Fibonacci recurrence x n + 2 = x n + 1 + x n , n = 1 , 2 , 3 , … , has exactly m distinct residues modulo M. As an application we show that for each integer m ⩾ 2 there exists ξ ∈ R such that the sequence of fractional parts { ξ φ n } n = 1 ∞ , where φ = ( 1 + 5 ) / 2 , has exactly m limit points. Furthermore, we prove that for no real ξ ≠ 0 it has exactly one limit point.

中文翻译：

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以规定数量的残留物复发

摘要 在本文中，我们证明对于每个正整数 m 都存在正整数 x 1 , x 2 , M 使得序列 ( xn ) n = 1 ∞ 由斐波那契递归 xn + 2 = xn + 1 + xn , n 定义= 1 , 2 , 3 , ... , 正好有 m 个不同的残基模 M。 作为一个应用，我们表明对于每个整数 m ⩾ 2 存在 ξ ∈ R 使得小数部分的序列 { ξ φ n } n = 1 ∞ ，其中 φ = ( 1 + 5 ) / 2 ，正好有 m 个极限点。此外，我们证明，对于没有实数的 ξ ≠ 0，它恰好有一个极限点。