In the context of cell motility modelling and more particularly related to the Filament Based Lamelipodium Model [Manhart et al 2015 & 2017], this work deals with a rigorous mathematical proof of convergence between solutions of two problems : we start from a microscopic description of adhesions using a delayed and constrained vector valued equation with spacial diffusion and show the convergence towards the corresponding friction limit. The convergence is performed with respect to the bond characteristic lifetime $\varepsilon$ whose inverse is also proportional to the stifness of the bonds. The originality of this work is the extension of gradient flow techniques to our setting. Namely, the discrete finite difference term in the gradient flow energy is here replaced by a delay term which complicates greatly the mathematical analysis. Contrarily to the standard approach [Oelz SeMa 2011], compactness in time is not provided by the energy minimization process~: a series of past times are taken into account in our discrete energy. A supplementary equation on the time derivative is obtained requiring uniform estimate with respect to $\varepsilon$ of the Lagrange multiplier and provides compactness. Due to the non-linearity induced by the constraint, a specific stability estimate useful in our previous works, is not at hand here. Numerical simulations even showed that this estimate does not hold. Nevertheless, transposing our delay operator, we succeed in proving convergence under slightly weaker hypotheses. The result relies on a careful initial layer analysis, extending [Milisic Esaim Proc 2018] to the space dependent setting.

中文翻译：

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从延迟和约束最小化运动到谐波映射热方程

在细胞运动建模的背景下，尤其是与基于细丝的 Lamelipodium 模型相关 [Manhart et al 2015 & 2017]，这项工作涉及两个问题的解决方案之间收敛的严格数学证明：我们从粘连的微观描述开始使用具有空间扩散的延迟和约束向量值方程，并显示向相应摩擦极限的收敛。收敛是针对键特征寿命 $\varepsilon$ 执行的，它的反比也与键的刚度成正比。这项工作的独创性是将梯度流技术扩展到我们的设置中。即，梯度流动能量中的离散有限差分项在这里被延迟项代替，这使得数学分析非常复杂。与标准方法 [Oelz SeMa 2011] 相反，能量最小化过程不提供时间上的紧凑性~：在我们的离散能量中考虑了一系列过去的时间。获得了时间导数的补充方程，需要对拉格朗日乘数的 $\varepsilon$ 进行统一估计，并提供紧凑性。由于约束引起的非线性，在我们之前的工作中有用的特定稳定性估计在这里不可用。数值模拟甚至表明这种估计不成立。尽管如此，转置我们的延迟算子，我们成功地证明了在稍弱的假设下收敛。结果依赖于仔细的初始层分析，将 [Milisic Esaim Proc 2018] 扩展到空间相关设置。能量最小化过程不提供时间上的紧凑性~：在我们的离散能量中考虑了一系列过去的时间。获得了时间导数的补充方程，需要对拉格朗日乘数的 $\varepsilon$ 进行统一估计，并提供紧凑性。由于约束引起的非线性，在我们之前的工作中有用的特定稳定性估计在这里不可用。数值模拟甚至表明这种估计不成立。尽管如此，转置我们的延迟算子，我们成功地证明了在稍弱的假设下收敛。结果依赖于仔细的初始层分析，将 [Milisic Esaim Proc 2018] 扩展到空间相关设置。能量最小化过程不提供时间上的紧凑性~：在我们的离散能量中考虑了一系列过去的时间。获得了时间导数的补充方程，需要对拉格朗日乘数的 $\varepsilon$ 进行统一估计，并提供紧凑性。由于约束引起的非线性，在我们之前的工作中有用的特定稳定性估计在这里不可用。数值模拟甚至表明这种估计不成立。尽管如此，转置我们的延迟算子，我们成功地证明了在稍弱的假设下收敛。结果依赖于仔细的初始层分析，将 [Milisic Esaim Proc 2018] 扩展到空间相关设置。在我们的离散能量中考虑了一系列过去的时间。获得了时间导数的补充方程，需要对拉格朗日乘数的 $\varepsilon$ 进行统一估计，并提供紧凑性。由于约束引起的非线性，在我们之前的工作中有用的特定稳定性估计在这里不可用。数值模拟甚至表明这种估计不成立。尽管如此，转置我们的延迟算子，我们成功地证明了在稍弱的假设下收敛。结果依赖于仔细的初始层分析，将 [Milisic Esaim Proc 2018] 扩展到空间相关设置。在我们的离散能量中考虑了一系列过去的时间。获得了时间导数的补充方程，需要对拉格朗日乘数的 $\varepsilon$ 进行统一估计，并提供紧凑性。由于约束引起的非线性，在我们之前的工作中有用的特定稳定性估计在这里不可用。数值模拟甚至表明这种估计不成立。尽管如此，转置我们的延迟算子，我们成功地证明了在稍弱的假设下收敛。结果依赖于仔细的初始层分析，将 [Milisic Esaim Proc 2018] 扩展到空间相关设置。获得了时间导数的补充方程，需要对拉格朗日乘数的 $\varepsilon$ 进行统一估计，并提供紧凑性。由于约束引起的非线性，在我们之前的工作中有用的特定稳定性估计在这里不可用。数值模拟甚至表明这种估计不成立。尽管如此，转置我们的延迟算子，我们成功地证明了在稍弱的假设下收敛。结果依赖于仔细的初始层分析，将 [Milisic Esaim Proc 2018] 扩展到空间相关设置。获得了时间导数的补充方程，需要对拉格朗日乘数的 $\varepsilon$ 进行统一估计，并提供紧凑性。由于约束引起的非线性，在我们之前的工作中有用的特定稳定性估计在这里不可用。数值模拟甚至表明这种估计不成立。尽管如此，转置我们的延迟算子，我们成功地证明了在稍弱的假设下收敛。结果依赖于仔细的初始层分析，将 [Milisic Esaim Proc 2018] 扩展到空间相关设置。转置我们的延迟算子，我们成功地证明了在稍弱的假设下收敛。结果依赖于仔细的初始层分析，将 [Milisic Esaim Proc 2018] 扩展到空间相关设置。转置我们的延迟算子，我们成功地证明了在稍弱的假设下收敛。结果依赖于仔细的初始层分析，将 [Milisic Esaim Proc 2018] 扩展到空间相关设置。