Given a CNF formula $\Phi$ with clauses $C_1,\ldots,C_m$ and variables $V=\{x_1,\ldots,x_n\}$, a truth assignment $a:V\rightarrow\{0,1\}$ of $\Phi$ leads to a clause sequence $\sigma_\Phi(a)=(C_1(a),\ldots,C_m(a))\in\{0,1\}^m$ where $C_i(a) = 1$ if clause $C_i$ evaluates to $1$ under assignment $a$, otherwise $C_i(a) = 0$. The set of all possible clause sequences carries a lot of information on the formula, e.g. SAT, MAX-SAT and MIN-SAT can be encoded in terms of finding a clause sequence with extremal properties. We consider a problem posed at Dagstuhl Seminar 19211 "Enumeration in Data Management" (2019) about the generation of all possible clause sequences of a given CNF with bounded dimension. We prove that the problem can be solved in incremental polynomial time. We further give an algorithm with polynomial delay for the class of tractable CNF formulas. We also consider the generation of maximal and minimal clause sequences, and show that generating maximal clause sequences is NP-hard, while minimal clause sequences can be generated with polynomial delay.

中文翻译：

---

生成 CNF 公式的子句序列

给定一个包含子句 $C_1,\ldots,C_m$ 和变量 $V=\{x_1,\ldots,x_n\}$ 的 CNF 公式 $\Phi$，一个真值赋值 $a:V\rightarrow\{0,1\ $\Phi$ 的 }$ 导致子句序列 $\sigma_\Phi(a)=(C_1(a),\ldots,C_m(a))\in\{0,1\}^m$ where $C_i (a) = 1$ if 子句 $C_i$ 在赋值 $a$ 下计算为 $1$，否则 $C_i(a) = 0$。所有可能的子句序列的集合携带了很多关于公式的信息，例如，SAT、MAX-SAT 和 MIN-SAT 可以根据找到具有极值属性的子句序列进行编码。我们考虑了在 Dagstuhl Seminar 19211“Enumeration in Data Management”（2019）中提出的一个问题，该问题是关于生成具有有界维度的给定 CNF 的所有可能子句序列。我们证明该问题可以在增量多项式时间内解决。我们进一步为易处理的 CNF 公式类给出了一个具有多项式延迟的算法。我们还考虑了最大和最小子句序列的生成，并表明生成最大子句序列是 NP-hard 的，而最小子句序列可以用多项式延迟生成。