We consider the $$P_m || C_{\max }$$ P m | | C max scheduling problem where the goal is to schedule n jobs on m identical parallel machines $$(m < n)$$ ( m < n ) to minimize makespan. We revisit the famous Longest Processing Time ( LPT ) rule proposed by Graham in 1969. LPT requires to sort jobs in non-ascending order of processing times and then to assign one job at a time to the machine whose load is smallest so far. We provide new insights into LPT and discuss the approximation ratio of a modification of LPT that improves Graham’s bound from $$\left( \frac{4}{3} - \frac{1}{3m} \right) $$ 4 3 - 1 3 m to $$\left( \frac{4}{3} - \frac{1}{3(m-1)} \right) $$ 4 3 - 1 3 ( m - 1 ) for $$m \ge 3$$ m ≥ 3 and from $$\frac{7}{6}$$ 7 6 to $$\frac{9}{8}$$ 9 8 for $$m=2$$ m = 2 . We use linear programming to analyze the approximation ratio of our approach. This performance analysis can be seen as a valid alternative to formal proofs based on analytical derivation. Also, we derive from the proposed approach an $$O(n \log n)$$ O ( n log n ) time complexity heuristic. The heuristic splits the sorted job set in tuples of m consecutive jobs ( $$1,\dots ,m; m+1,\dots ,2m;$$ 1 , ⋯ , m ; m + 1 , ⋯ , 2 m ; etc.) and sorts the tuples in non-increasing order of the difference (slack) between largest job and smallest job in the tuple. Then, given this new ordering of the job set, list scheduling is applied. This approach strongly outperforms LPT on benchmark literature instances and is competitive with more involved approaches such as COMBINE and LDM.

中文翻译：

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重新审视相同并行机的最长处理时间规则

我们考虑 $$P_m || C_{\max }$$ P m | | C 最大调度问题，其目标是在 m 台相同的并行机器上调度 n 个作业 $$(m < n)$$ ( m < n ) 以最小化完工时间。我们重新审视 Graham 在 1969 年提出的著名的最长处理时间 (LPT) 规则。LPT 要求按处理时间的非升序对作业进行排序，然后一次将一项作业分配给迄今为止负载最小的机器。我们提供了对 LPT 的新见解，并讨论了从 $$\left( \frac{4}{3} - \frac{1}{3m} \right) $$ 4 3 改进格雷厄姆边界的 LPT 修改的近似比率- 1 3 m 到 $$\left( \frac{4}{3} - \frac{1}{3(m-1)} \right) $$ 4 3 - 1 3 ( m - 1 ) $$ m \ge 3$$ m ≥ 3 并且从 $$\frac{7}{6}$$ 7 6 到 $$\frac{9}{8}$$ 9 8 对于 $$m=2$$ m = 2 . 我们使用线性规划来分析我们的方法的近似率。这种性能分析可以看作是基于分析推导的形式证明的有效替代方案。此外，我们从所提出的方法推导出 $$O(n \log n)$$ O ( n log n ) 时间复杂度启发式。启发式将排序的作业集拆分为 m 个连续作业的元组 ( $$1,\dots ,m; m+1,\dots ,2m;$$ 1 , ⋯ , m ; m + 1 , ⋯ , 2 m ; 等。 ) 并按元组中最大作业和最小作业之间的差异（松弛）的非递增顺序对元组进行排序。然后，给定作业集的这种新排序，应用列表调度。这种方法在基准文献实例上的表现明显优于 LPT，并且与更复杂的方法（如 COMBINE 和 LDM）相比具有竞争力。这种性能分析可以看作是基于分析推导的形式证明的有效替代方案。此外，我们从所提出的方法推导出 $$O(n \log n)$$ O ( n log n ) 时间复杂度启发式。启发式将排序的作业集拆分为 m 个连续作业的元组 ( $$1,\dots ,m; m+1,\dots ,2m;$$ 1 , ⋯ , m ; m + 1 , ⋯ , 2 m ; 等。 ) 并按元组中最大作业和最小作业之间的差异（松弛）的非递增顺序对元组进行排序。然后，给定作业集的这种新排序，应用列表调度。这种方法在基准文献实例上的表现明显优于 LPT，并且与更复杂的方法（如 COMBINE 和 LDM）相比具有竞争力。这种性能分析可以看作是基于分析推导的形式证明的有效替代方案。此外，我们从所提出的方法推导出 $$O(n \log n)$$ O ( n log n ) 时间复杂度启发式。启发式将排序的作业集拆分为 m 个连续作业的元组 ( $$1,\dots ,m; m+1,\dots ,2m;$$ 1 , ⋯ , m ; m + 1 , ⋯ , 2 m ; 等。 ) 并按元组中最大作业和最小作业之间的差异（松弛）的非递增顺序对元组进行排序。然后，给定作业集的这种新排序，应用列表调度。这种方法在基准文献实例上明显优于 LPT，并且与更复杂的方法（如 COMBINE 和 LDM）相比具有竞争力。启发式将排序的作业集拆分为 m 个连续作业的元组 ( $$1,\dots ,m; m+1,\dots ,2m;$$ 1 , ⋯ , m ; m + 1 , ⋯ , 2 m ; 等。 ) 并按元组中最大作业和最小作业之间的差异（松弛）的非递增顺序对元组进行排序。然后，给定作业集的这种新排序，应用列表调度。这种方法在基准文献实例上的表现明显优于 LPT，并且与更复杂的方法（如 COMBINE 和 LDM）相比具有竞争力。启发式将排序的作业集拆分为 m 个连续作业的元组 ( $$1,\dots ,m; m+1,\dots ,2m;$$ 1 , ⋯ , m ; m + 1 , ⋯ , 2 m ; 等。 ) 并按元组中最大作业和最小作业之间的差异（松弛）的非递增顺序对元组进行排序。然后，给定作业集的这种新排序，应用列表调度。这种方法在基准文献实例上的表现明显优于 LPT，并且与更复杂的方法（如 COMBINE 和 LDM）相比具有竞争力。