In this work, we study linear codes over the ring F2×(F2+vF2)\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\mathbb {F}_2 \times (\mathbb {F}_2+v\mathbb {F}_2)$$\end{document} and their weight enumerators, where v2=v\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$v^2=v$$\end{document}. We first give the structure of the ring and investigate linear codes over this ring. We also define two weights called Lee weight and Gray weight for these codes. Then we introduce two Gray maps from F2×(F2+vF2)\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\mathbb {F}_2 \times (\mathbb {F}_2+v\mathbb {F}_2)$$\end{document} to F23\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\mathbb {F}_2^3$$\end{document} and study the Gray images of linear codes over the ring. Moreover, we prove MacWilliams identities for the complete, the symmetrized and the Lee weight enumerators.

中文翻译：

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$$\mathbb {F}_2 \times (\mathbb {F}_2+v\mathbb {F}_2)$$F2×(F2+vF2) 和 MacWilliams 恒等式上的线性代码

在这项工作中，我们研究了环上的线性代码 F2×(F2+vF2)\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy } \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\mathbb {F}_2 \times (\mathbb {F}_2+v\mathbb {F} _2)$$\end{document} 及其权重枚举器，其中 v2=v\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy } \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$v^2=v$$\end{document}。我们首先给出环的结构并研究这个环上的线性代码。我们还为这些代码定义了两个权重，称为李权重和格雷权重。然后我们引入来自 F2×(F2+vF2)\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{ 的两个格雷图mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\mathbb {F}_2 \times (\mathbb {F}_2+v\mathbb {F}_2)$$ \end{document} 到 F23\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\mathbb {F}_2^3$$\end{document} 并研究环上线性代码的格雷图像。此外，我们证明了完全、对称和 Lee 权重枚举器的 MacWilliams 恒等式。