Given a binary quadratic polynomial \(f(x_1,x_2)=\alpha x_1^2+\beta x_1x_2+\gamma x_2^2\in \mathbb {Z}[x_1,x_2]\), for every \(c\in \mathbb Z\) and \(n\ge 2\), we study the number of solutions \(\mathrm {N}_J(f;c,n)\) of the congruence equation \(f(x_1,x_2)\equiv c\bmod {n}\) in \((\mathbb {Z}/n\mathbb {Z})^2\) such that \(x_i\in (\mathbb {Z}/n\mathbb {Z})^\times \) for \(i\in J\subseteq \{1,2\}\).

中文翻译：

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关于二元二次形式模

给定一个二进制二次多项式\（f（x_1，x_2）= \ alpha x_1 ^ 2 + \ beta x_1x_2 + \ gamma x_2 ^ 2 \ in \ mathbb {Z} [x_1，x_2] \），对于每个\（c \ in \ mathbb Z \）和\（n \ ge 2 \），我们研究了全等式\（f（x_1，x_2）的解数\（\ mathrm {N} _J（f; c，n）\ ） \当量ç\ BMOD {N} \）在\（（\ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}）^ 2 \），使得\（X_I \在（\ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z }）^ \ times \）表示\（i \ in J \ subseteq \ {1,2 \} \）。