In this paper, we prove a monotonicity formula and some Bernstein type results for translating solitons of hypersurfaces in $$\mathbb {R}^{n+1}$$ R n + 1 , giving some conditions under which a translating soliton is a hyperplane. We also show a gap theorem for the translating soliton of hypersurfaces in $$R^{n+k}$$ R n + k , namely, if the $$L^n$$ L n norm of the second fundamental form of the soliton is small enough, then it is a hyperplane.

中文翻译：

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用于翻译超曲面孤子的伯恩斯坦定理

在本文中，我们证明了在 $$\mathbb {R}^{n+1}$$ R n + 1 中平移超曲面孤子的单调性公式和一些 Bernstein 类型的结果，给出了平移孤子是超平面。我们还展示了 $$R^{n+k}$$ R n + k 中超曲面的平移孤子的间隙定理，即，如果 $$L^n$$ L n 范数的第二个基本形式孤子足够小，那么它就是一个超平面。