The Painlevé-III equation with parameters $$\Theta _0=n+m$$ Θ 0 = n + m and $$\Theta _\infty =m-n+1$$ Θ ∞ = m - n + 1 has a unique rational solution $$u(x)=u_n(x;m)$$ u ( x ) = u n ( x ; m ) with $$u_n(\infty ;m)=1$$ u n ( ∞ ; m ) = 1 whenever $$n\in \mathbb {Z}$$ n ∈ Z . Using a Riemann–Hilbert representation proposed in Bothner et al. (Stud Appl Math 141:626–679, 2018 ), we study the asymptotic behavior of $$u_n(x;m)$$ u n ( x ; m ) in the limit $$n\rightarrow +\infty $$ n → + ∞ with $$m\in \mathbb {C}$$ m ∈ C held fixed. We isolate an eye-shaped domain E in the $$y=n^{-1}x$$ y = n - 1 x plane that asymptotically confines the poles and zeros of $$u_n(x;m)$$ u n ( x ; m ) for all values of the second parameter m . We then show that unless m is a half-integer, the interior of E is filled with a locally uniform lattice of poles and zeros, and the density of the poles and zeros is small near the boundary of E but blows up near the origin, which is the only fixed singularity of the Painlevé-III equation. In both the interior and exterior domains we provide accurate asymptotic formulæ for $$u_n(x;m)$$ u n ( x ; m ) that we compare with $$u_n(x;m)$$ u n ( x ; m ) itself for finite values of n to illustrate their accuracy. We also consider the exceptional cases where m is a half-integer, showing that the poles and zeros of $$u_n(x;m)$$ u n ( x ; m ) now accumulate along only one or the other of two “eyebrows,” i.e., exterior boundary arcs of E .

中文翻译：

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Painlevé-III 方程的有理解：大参数渐近

参数 $$\Theta _0=n+m$$ Θ 0 = n + m 和 $$\Theta _\infty =m-n+1$$ Θ ∞ = m - n + 1 的 Painlevé-III 方程有唯一有理解 $$u(x)=u_n(x;m)$$ u ( x ) = un ( x ; m ) 与 $$u_n(\infty ;m)=1$$ un ( ∞ ; m ) = 1 每当 $$n\in \mathbb {Z}$$ n ∈ Z 。使用 Bothner 等人提出的 Riemann-Hilbert 表示。(Stud Appl Math 141:626–679, 2018)，我们研究了 $$u_n(x;m)$$ un ( x ; m ) 在 $$n\rightarrow +\infty $$ n → + ∞ 与 $$m\in \mathbb {C}$$ m ∈ C 保持固定。我们在 $$y=n^{-1}x$$ y = n - 1 x 平面中隔离了一个眼形域 E，该平面渐近地限制了 $$u_n(x;m)$un ( x ; m ) 对于第二个参数 m 的所有值。然后我们证明，除非 m 是半整数，否则 E 的内部充满了局部均匀的极点和零点晶格，极点和零点的密度在 E 的边界附近很小，但在原点附近爆炸，这是 Painlevé-III 方程的唯一固定奇点。在内部域和外部域中，我们为 $$u_n(x;m)$$un ( x ; m ) 提供准确的渐近公式，我们将其与 $$u_n(x;m)$$ un ( x ; m ) 本身进行比较n 的有限值来说明它们的准确性。我们还考虑了 m 是半整数的特殊情况，表明 $$u_n(x;m)$$un ( x ; m ) 的极点和零点现在仅沿两个“眉毛”中的一个或另一个累积， ”，即 E 的外部边界弧。在内部域和外部域中，我们为 $$u_n(x;m)$$un ( x ; m ) 提供准确的渐近公式，我们将其与 $$u_n(x;m)$$ un ( x ; m ) 本身进行比较n 的有限值来说明它们的准确性。我们还考虑了 m 是半整数的特殊情况，表明 $$u_n(x;m)$$un ( x ; m ) 的极点和零点现在仅沿两个“眉毛”中的一个或另一个累积， ”，即 E 的外部边界弧。在内部域和外部域中，我们为 $$u_n(x;m)$$un ( x ; m ) 提供准确的渐近公式，我们将其与 $$u_n(x;m)$$ un ( x ; m ) 本身进行比较n 的有限值来说明它们的准确性。我们还考虑了 m 是半整数的特殊情况，表明 $$u_n(x;m)$$un ( x ; m ) 的极点和零点现在仅沿两个“眉毛”中的一个或另一个累积， ”，即 E 的外部边界弧。