The chromatic number of a digraph D is the minimum number of acyclic subgraphs covering the vertex set of D. A tournament H is a hero if every H-free tournament T has chromatic number bounded by a function of H. Inspired by the celebrated Erdős-Hajnal conjecture, Berger et al. fully characterized the class of heroes in 2013. We extend this framework to dense digraphs: A digraph H is a superhero if every H-free digraph D has chromatic number bounded by a function of H and α(D), the independence number of the underlying graph of D. We prove here that a digraph is a superhero if and only if it is a hero, and hence characterize all superheroes. This answers a question of Aboulker, Charbit and Naserasr.

中文翻译：

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着色密集有向图

有向图 D 的色数是覆盖 D 的顶点集的最小无环子图数。如果每个无 H 的锦标赛 T 的色数受 H 的函数限制，则锦标赛 H 是英雄。受著名的 Erdős-启发Hajnal 猜想，Berger 等。在 2013 年充分表征了英雄类别。我们将此框架扩展到稠密有向图：如果每个无 H 有向图 D 的色数由 H 和 α(D) 的函数界定，则有向图 H 是超级英雄，α(D) 是D 的底层图。我们在这里证明一个有向图是一个超级英雄当且仅当它是一个英雄，因此刻画了所有的超级英雄。这回答了 Aboulker、Charbit 和 Naserasr 的问题。