AbstractIn this paper, we study the computational complexity of computing the noncommutative determinant. We first consider the arithmetic circuit complexity of computing the noncommutative determinant polynomial. Then, more generally, we also examine the complexity of computing the determinant (as a function) over noncommutative domains. Our hardness results are summarized below: ○We show that if the noncommutative determinant polynomial has small noncommutative arithmetic circuits then so does the noncommutative permanent. Consequently, the commutative permanent polynomial has small commutative arithmetic circuits.○For any field $${\mathbb{F}}$$F we show that computing the $${n\times n}$$n×n permanent over $${\mathbb{F}}$$F is polynomial-time reducible to computing the $${2n\times 2n}$$2n×2n (noncommutative) determinant whose entries are $${O(n^2)\times O(n^2)}$$O(n2)×O(n2) matrices over the field $${\mathbb{F}}$$F.○We also derive as a consequence that computing the $${n\times n}$$n×n permanent over nonnegative rationals is polynomial-time reducible to computing the noncommutative determinant over Clifford algebras of $${n^{O(1)}}$$nO(1) dimension. Our techniques are elementary and use primarily the notion of the Hadamard Product of noncommutative polynomials.

中文翻译：

---

关于不可交换行列式的硬度

摘要在本文中，我们研究了计算非对易行列式的计算复杂度。我们首先考虑计算非对易行列式多项式的算术电路复杂度。然后，更一般地说，我们还检查了在非交换域上计算行列式（作为函数）的复杂性。我们的硬度结果总结如下： ○我们表明，如果非对易行列式多项式具有小的非对易算术电路，那么非对易永久多项式也是如此。因此，可交换永久多项式具有小的可交换算术电路。○对于任何字段 $${\mathbb{F}}$$F 我们证明计算 $${n\times n}$$n×n 对 $${\mathbb{F}}$$F 的永久是多项式-时间可简化为计算 $${2n\times 2n}$$2n×2n（非交换）行列式，其条目为 $${O(n^2)\times O(n^2)}$$O(n2) ×O(n2) 矩阵 $${\mathbb{F}}$$F.○ 我们还推导出计算 $${n\times n}$$n×n 在非负有理数上的永久矩阵是多项式时间可约化以计算 $${n^{O(1)}}$$nO(1) 维的 Clifford 代数上的非交换行列式。我们的技术是基本的，主要使用非交换多项式的哈达玛积的概念。○我们还推导出，计算非负有理数上的 $${n\times n}$$n×n 永久是多项式时间可约化到计算 $${n^{O(1) 的 Clifford 代数上的非交换行列式)}}$$nO(1) 维。我们的技术是基本的，主要使用非交换多项式的哈达玛积的概念。○我们还推导出，计算非负有理数上的 $${n\times n}$$n×n 永久是多项式时间可约化到计算 $${n^{O(1) 的 Clifford 代数上的非交换行列式)}}$$nO(1) 维。我们的技术是基本的，主要使用非交换多项式的哈达玛积的概念。