We analyze the distance \(\mathcal {R}_{T}(u)\) between the first and the last passage time of {X(t) − ct : t ∈ [0, T]} at level u in time horizon T ∈ (0, ∞], where X is a centered Gaussian process with stationary increments and \(c\in {\mathbb {R}}\), given that the first passage time occurred before T. Under some tractable assumptions on X, we find Δ(u) and G(x) such that$$\lim\limits_{u\to\infty}\mathbb{P} \left( \mathcal{R}_{T}(u)>{\Delta}(u)x \right)=G(x), $$for x ≥ 0. We distinguish two scenarios: T < ∞ and T = ∞, that lead to qualitatively different asymptotics. The obtained results provide exact asymptotics of the ultimate recovery time after the ruin in Gaussian risk model.

中文翻译：

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高斯风险模型的最终恢复时间

我们分析的距离\（\ mathcal {R} _ {T】（U）\）的第一和最后的通过时间之间{ X（吨） - Ç吨：吨∈[0，Ť ]}在水平ū在时间范围Ť ∈（0，∞ ]，其中X是一个居中的具有固定的增量和高斯过程\（C \在{\ mathbb {R}} \） ，鉴于前发生的第一通过时间Ť。在某些易于处理的假设在X上，我们发现Δ（u）和G（x）使得$$ \ lim \ limits_ {u \ to \ infty} \ mathbb {P} \ left（\ mathcal {R} _ {T}（u）> {\ Delta}（u）x \ right）= G（x）当x≥0时为$$。我们区分两种情况：T < ∞和T = ∞，这导致了质的不同渐近性。获得的结果提供了高斯风险模型崩溃后最终恢复时间的精确渐近性。