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Scaling Limits of Random Walk Bridges Conditioned to Avoid a Finite Set
Journal of Theoretical Probability ( IF 0.8 ) Pub Date : 2019-05-09 , DOI: 10.1007/s10959-019-00908-x Kôhei Uchiyama
Journal of Theoretical Probability ( IF 0.8 ) Pub Date : 2019-05-09 , DOI: 10.1007/s10959-019-00908-x Kôhei Uchiyama
This paper concerns a scaling limit of a one-dimensional random walk $$S^x_n$$Snx started from x on the integer lattice conditioned to avoid a non-empty finite set A, the random walk being assumed to be irreducible and have zero mean. Suppose the variance $$\sigma ^2$$σ2 of the increment law is finite. Given positive constants b, c and T, we consider the scaled process $$S^{b_N}_{[tN]}/\sigma \sqrt{N}$$S[tN]bN/σN, $$0\le t \le T$$0≤t≤T, started from a point $$b_N \approx b\sqrt{N}$$bN≈bN conditioned to arrive at another point $$\approx -\,c\sqrt{N}$$≈-cN at $$t=T$$t=T and avoid A in between and discuss the functional limit of it as $$N\rightarrow \infty $$N→∞. We show that it converges in law to a continuous process if $$E[|S_1|^3; S_1<0] <\infty $$E[|S1|3;S1<0]<∞. If $$E[|S_1|^3; S_1<0] =\infty $$E[|S1|3;S1<0]=∞, we suppose $$P[S_1
中文翻译：
有条件避免有限集的随机游走桥的标度限制
这篇论文涉及一维随机游走$$S^x_n$$Snx 的缩放限制，它从整数格上的 x 开始，条件是避免非空有限集 A，随机游走被假定为不可约且为零吝啬的。假设增量定律的方差$$\sigma ^2$$σ2 是有限的。给定正常数 b、c 和 T，我们考虑缩放过程 $$S^{b_N}_{[tN]}/\sigma \sqrt{N}$$S[tN]bN/σN, $$0\le t \le T$$0≤t≤T，从点 $$b_N 开始 \approx b\sqrt{N}$$bN≈bN 条件到达另一个点 $$\approx -\,c\sqrt{N}$ $≈-cN 在 $$t=T$$t=T 并避免 A 介于两者之间并将其功能限制讨论为 $$N\rightarrow \infty $$N→∞。我们证明如果 $$E[|S_1|^3; S_1<0] <\infty $$E[|S1|3;S1<0]<∞。如果 $$E[|S_1|^3; S_1<0] =\infty $$E[|S1|3;S1<0]=∞,
更新日期：2019-05-09
中文翻译：
有条件避免有限集的随机游走桥的标度限制
这篇论文涉及一维随机游走$$S^x_n$$Snx 的缩放限制，它从整数格上的 x 开始，条件是避免非空有限集 A，随机游走被假定为不可约且为零吝啬的。假设增量定律的方差$$\sigma ^2$$σ2 是有限的。给定正常数 b、c 和 T，我们考虑缩放过程 $$S^{b_N}_{[tN]}/\sigma \sqrt{N}$$S[tN]bN/σN, $$0\le t \le T$$0≤t≤T，从点 $$b_N 开始 \approx b\sqrt{N}$$bN≈bN 条件到达另一个点 $$\approx -\,c\sqrt{N}$ $≈-cN 在 $$t=T$$t=T 并避免 A 介于两者之间并将其功能限制讨论为 $$N\rightarrow \infty $$N→∞。我们证明如果 $$E[|S_1|^3; S_1<0] <\infty $$E[|S1|3;S1<0]<∞。如果 $$E[|S_1|^3; S_1<0] =\infty $$E[|S1|3;S1<0]=∞,
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