We give a combinatorial formula for the Ehrhart $h^{⁎}$-vector of the hypersimplex. In particular, we show that $h_d^{⁎}({\mathrm{\Delta }}_{k,n})$ is the number of hypersimplicial decorated ordered set partitions of type $(k,n)$ with winding number d, thereby proving a conjecture of N. Early. We do this by proving a more general conjecture of N. Early on the Ehrhart $h^{⁎}$-vector of a generic cross-section of a hypercube.

中文翻译：

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一个组合式为Ehrhart ħ ^⁎的hypersimplex的维矢量

我们为埃哈特给出一个组合公式 $H^{⁎}$超单纯形的-向量。特别是，我们表明$H_d^{⁎}（{\mathrm{\Delta }}_{ķ，ñ}）$ 是类型的超简单装饰有序集分区的数量 $（ķ，ñ）$绕数为d，从而证明N的猜想。我们通过证明N更笼统地做到这一点。$H^{⁎}$超立方体的一般横截面的向量。