We study the longest increasing subsequence problem for random permutations avoiding the pattern $312$ and another pattern $\tau$ under the uniform probability distribution. We determine the exact and asymptotic formulas for the average length of the longest increasing subsequences for such permutation classes specifically when the pattern $\tau$ is monotone increasing or decreasing, or any pattern of length four.

中文翻译：

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置换避免 312 和另一种模式、切比雪夫多项式和最长递增子序列

我们研究了随机排列的最长递增子序列问题，避免了均匀概率分布下的模式 $312$ 和另一个模式 $\tau$。我们确定了这种置换类的最长递增子序列的平均长度的精确和渐近公式，特别是当模式 $\tau$ 是单调递增或递减，或任何长度为 4 的模式时。