We obtain the following dimension independent Bernstein–Markov inequality in Gauss space: for each $1\le p<\infty$ there exists a constant $C_p>0$ such that for any $k\ge 1$ and all polynomials $P$ on ${\mathbb{R}}^k$ we have ${\Vert \nabla P\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^k,\mathrm{d}{\gamma }_k)}\le C_p{\left(\mathrm{deg}P\right)}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }arctan\left(\frac{|p-2|}{2\sqrt{p-1}}\right)}{\Vert P\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^k,\mathrm{d}{\gamma }_k)},$where $\mathrm{d}{\gamma }_k$ is the standard Gaussian measure on ${\mathbb{R}}^k$. We also show that under some mild growth assumptions on any function $B\in C^2\left((0,\infty )\right)\cap C\left([0,\infty )\right)$ with $B^{\prime },B^{\prime \prime }>0$ we have ${\int }_{{\mathbb{R}}^k}B\left(\left|LP\left(x\right)\right|\right)\mathrm{d}{\gamma }_k\left(x\right)\le {\int }_{{\mathbb{R}}^k}B\left(10{\left(\mathrm{deg}P\right)}^{{\alpha }_B}\left|P\left(x\right)\right|\right)\mathrm{d}{\gamma }_k\left(x\right)$where $L=\Delta -x\cdot \nabla$ is the generator of the Ornstein–Uhlenbeck semigroup and ${\alpha }_B=1+\frac{2}{\pi }arctan\left(\frac{1}{2}\sqrt{\underset{s\in (0,\infty )}{sup}\left\{\frac{s{B}^{\prime \prime }\left(s\right)}{B^{\prime }\left(s\right)}+\frac{B^{\prime }\left(s\right)}{s{B}^{\prime \prime }\left(s\right)}\right\}-2}\right).$

我们在高斯空间中获得以下维独立的Bernstein-Markov不等式： $\mathrm{1个}\le p<\infty$ 存在一个常数 $C_p>0$ 这样对于任何 $ķ\ge \mathrm{1个}$ 和所有多项式 $P$ 上 ${\mathbb{[R}}^{ķ}$ 我们有 ${\Vert \nabla P\Vert }_{{\mathrm{大号}}^p（{\mathbb{[R}}^{ķ}，\mathrm{d}{\gamma }_{ķ}）}\le C_p{（\mathrm{度}P）}^{\frac{\mathrm{1个}}{2}+\frac{\mathrm{1个}}{\pi }Arctan\left(\frac{|p-2|}{2\sqrt{p-\mathrm{1个}}}\right)}{\Vert P\Vert }_{{\mathrm{大号}}^p（{\mathbb{[R}}^{ķ}，\mathrm{d}{\gamma }_{ķ}）}，$哪里 $\mathrm{d}{\gamma }_{ķ}$ 是标准的高斯测度 ${\mathbb{[R}}^{ķ}$。我们还表明，在任何功能的某些温和增长假设下$乙\in C^2（（0，\infty ））\cap C（[0，\infty ））$ 与 ${乙}^{\prime }，{乙}^{\prime \prime }>0$ 我们有 ${\int }_{{\mathbb{[R}}^{ķ}}乙\left(\left|\mathrm{大号}P（X）\right|\right)\mathrm{d}{\gamma }_{ķ}（X）\le {\int }_{{\mathbb{[R}}^{ķ}}乙\left(10{（\mathrm{度}P）}^{{\alpha }_{乙}}\left|P（X）\right|\right)\mathrm{d}{\gamma }_{ķ}（X）$哪里 $\mathrm{大号}=\Delta -X\cdot \nabla$ 是Ornstein–Uhlenbeck半群的生成器， ${\alpha }_{乙}=\mathrm{1个}+\frac{2}{\pi }Arctan\left(\frac{\mathrm{1个}}{2}\sqrt{\underset{s\in （0，\infty ）}{SUP}\left\{\frac{s{乙}^{\prime \prime }（s）}{{乙}^{\prime }（s）}+\frac{{乙}^{\prime }（s）}{s{乙}^{\prime \prime }（s）}\right\}-2}\right)。$