We prove that the Weihrauch lattice can be transformed into a Brouwer algebra by the consecutive application of two closure operators in the appropriate order: first completion and then parallelization. The closure operator of completion is a new closure operator that we introduce. It transforms any problem into a total problem on the completion of the respective types, where we allow any value outside of the original domain of the problem. This closure operator is of interest by itself, as it generates a total version of Weihrauch reducibility that is defined like the usual version of Weihrauch reducibility, but in terms of total realizers. From a logical perspective completion can be seen as a way to make problems independent of their premises. Alongside with the completion operator and total Weihrauch reducibility we need to study precomplete representations that are required to describe these concepts. In order to show that the parallelized total Weihrauch lattice forms a Brouwer algebra, we introduce a new multiplicative version of an implication. While the parallelized total Weihrauch lattice forms a Brouwer algebra with this implication, the total Weihrauch lattice fails to be a model of intuitionistic linear logic in two different ways. In order to pinpoint the algebraic reasons for this failure, we introduce the concept of a Weihrauch algebra that allows us to formulate the failure in precise and neat terms. Finally, we show that the Medvedev Brouwer algebra can be embedded into our Brouwer algebra, which also implies that the theory of our Brouwer algebra is Jankov logic.

中文翻译：

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Weihrauch 走向 Brouwerian

我们证明了 Weihrauch 格可以通过以适当的顺序连续应用两个闭包算子来转换为 Brouwer 代数：首先完成然后并行化。完成的闭包算子是我们引入的一个新的闭包算子。它将任何问题转换为完成相应类型的总问题，其中我们允许问题原始域之外的任何值。这个闭包算子本身很有趣，因为它生成了 Weihrauch 可约性的完整版本，其定义类似于 Weihrauch 可约性的通常版本，但根据总实现者。从逻辑的角度来看，完成可以被视为使问题独立于其前提的一种方式。除了完成算子和总 Weihrauch 可约性之外，我们还需要研究描述这些概念所需的预完成表示。为了证明并行化的总 Weihrauch 格形成 Brouwer 代数，我们引入了一个新的乘法版本的蕴涵。虽然并行化的全 Weihrauch 格形成了具有这种含义的 Brouwer 代数，但全 Weihrauch 格在两种不同的方式上都不能成为直观线性逻辑的模型。为了查明这次失败的代数原因，我们引入了 Weihrauch 代数的概念，它使我们能够用精确和简洁的术语来表述失败。最后，我们证明了 Medvedev Brouwer 代数可以嵌入到我们的 Brouwer 代数中，这也意味着我们的 Brouwer 代数理论是 Jankov 逻辑。为了证明并行化的总 Weihrauch 格形成 Brouwer 代数，我们引入了一个新的乘法版本的蕴涵。虽然并行化的全 Weihrauch 格形成了具有这种含义的 Brouwer 代数，但全 Weihrauch 格在两种不同的方式上都不能成为直观线性逻辑的模型。为了查明这次失败的代数原因，我们引入了 Weihrauch 代数的概念，它使我们能够用精确和简洁的术语来表述失败。最后，我们证明了 Medvedev Brouwer 代数可以嵌入到我们的 Brouwer 代数中，这也意味着我们的 Brouwer 代数理论是 Jankov 逻辑。为了证明并行化的总 Weihrauch 格形成 Brouwer 代数，我们引入了一个新的乘法版本的蕴涵。虽然并行化的全 Weihrauch 格形成了具有这种含义的 Brouwer 代数，但全 Weihrauch 格在两种不同的方式上都不能成为直观线性逻辑的模型。为了查明这次失败的代数原因，我们引入了 Weihrauch 代数的概念，它使我们能够用精确和简洁的术语来表述失败。最后，我们证明了 Medvedev Brouwer 代数可以嵌入到我们的 Brouwer 代数中，这也意味着我们的 Brouwer 代数理论是 Jankov 逻辑。虽然并行化的全 Weihrauch 格形成了具有这种含义的 Brouwer 代数，但全 Weihrauch 格在两种不同的方式上都不能成为直观线性逻辑的模型。为了查明这次失败的代数原因，我们引入了 Weihrauch 代数的概念，它使我们能够用精确和简洁的术语来表述失败。最后，我们证明了 Medvedev Brouwer 代数可以嵌入到我们的 Brouwer 代数中，这也意味着我们的 Brouwer 代数理论是 Jankov 逻辑。虽然并行化的全 Weihrauch 格形成了具有这种含义的 Brouwer 代数，但全 Weihrauch 格在两种不同的方式上未能成为直观线性逻辑的模型。为了查明这次失败的代数原因，我们引入了 Weihrauch 代数的概念，它使我们能够用精确和简洁的术语来表述失败。最后，我们证明了 Medvedev Brouwer 代数可以嵌入到我们的 Brouwer 代数中，这也意味着我们的 Brouwer 代数理论是 Jankov 逻辑。