Abstract In 1927, Artin hypothesized that for any given non-zero integer a other than 1, −1, or a perfect square, there exists infinitely many primes p for which a is a primitive root modulo p. In 1967, Hooley proved it under the assumption of the generalized Riemann hypothesis. Since then, there are many analogues and generalization of this conjecture. In this paper, we work on its generalization to composite moduli in the function fields setting. Let A = F q [ t ] be the ring of polynomials over the finite field F q and 0 ≠ a ∈ A . Let C be the A-Carlitz module. Let a be a fixed element in A. For n ∈ A , C ( A / n A ) is a finite A-module. The set of all annihilators of C ( A / n A ) is an ideal and generated by a monic polynomial, denoted by λ ( n ) . Similarly, The set of all annihilators of the submodule of C ( A / n A ) generated by a is an ideal and let l a ( n ) be its monic generator. We say that a is a primitive root of n, if λ ( n ) = l a ( n ) . Define N a ( x ) : = | { n ∈ A | deg ⁡ n = x , n is monic , a is a primitive root of n } | We prove that for a given non-constant a ∈ A , a ∉ E , an exceptional set, there exists an unbounded set V of integers such that lim inf x ∈ V N a ( x ) / q x = 0 This result is analogous to Li's theorem for Artin's conjecture on composite moduli. It is the first time that this kind of results holds in the setting of the function fields.

中文翻译：

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将阿廷猜想推广到函数域中的复合模

摘要 1927 年，Artin 假设对于任何给定的非零整数 a 除了 1、-1 或一个完美的平方，存在无限多个质数 p，其中 a 是原始根模 p。1967 年，Hooley 在广义黎曼假设的假设下证明了它。此后，这一猜想出现了许多类似和概括。在本文中，我们致力于将其推广到函数字段设置中的复合模。设 A = F q [ t ] 是有限域 F q 上的多项式环，并且 0 ≠ a ∈ A 。令 C 为 A-Carlitz 模块。设 a 是 A 中的一个固定元素。对于 n ∈ A ，C ( A / n A ) 是一个有限的 A 模。C ( A / n A ) 的所有湮灭子的集合是一个理想的集合，由一个单项多项式生成，用 λ ( n ) 表示。相似地，由 a 生成的 C ( A / n A ) 的子模块的所有湮灭子的集合是理想的，并让 la ( n ) 是它的单调生成器。我们说 a 是 n 的原始根，如果 λ ( n ) = la ( n ) 。定义 N a ( x ) : = | { n ∈ A | deg ⁡ n = x , n 是 monic , a 是 n 的原始根 } | 我们证明对于给定的非常数 a ∈ A , a ∉ E ，一个异常集，存在一个无界整数集 V 使得 lim inf x ∈ VN a ( x ) / qx = 0 这个结果类似于 Li 的阿廷关于复合模量的猜想的定理。这种结果在功能字段的设置中还是第一次。a 是 n 的原始根 } | 我们证明对于给定的非常数 a ∈ A , a ∉ E ，一个异常集，存在一个无界整数集 V 使得 lim inf x ∈ VN a ( x ) / qx = 0 这个结果类似于 Li 的Artin 对复合模量猜想的定理。这种结果在功能字段的设置中还是第一次。a 是 n 的原始根 } | 我们证明对于给定的非常数 a ∈ A , a ∉ E ，一个异常集，存在一个无界整数集 V 使得 lim inf x ∈ VN a ( x ) / qx = 0 这个结果类似于 Li 的阿廷关于复合模量的猜想的定理。这种结果在功能字段的设置中还是第一次。