The Jordan totient $J_k(n)$ can be defined by $J_k(n)=n^k\prod_{p\mid n}(1-p^{-k})$. In this paper, we study the average behavior of fractions $P/Q$ of two products $P$ and $Q$ of Jordan totients, which we call Jordan totient quotients. To this end, we describe two general and ready-to-use methods that allow one to deal with a larger class of totient functions. The first one is elementary and the second one uses an advanced method due to Balakrishnan and P\'etermann. As an application, we determine the average behavior of the Jordan totient quotient, the $k^{th}$ normalized derivative of the $n^{th}$ cyclotomic polynomial $\Phi_n(z)$ at $z=1$, the second normalized derivative of the $n^{th}$ cyclotomic polynomial $\Phi_n(z)$ at $z=-1$, and the average order of the Schwarzian derivative of $\Phi_n(z)$ at $z=1$.

中文翻译：

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乔丹总商数

Jordan totient $J_k(n)$ 可以定义为 $J_k(n)=n^k\prod_{p\mid n}(1-p^{-k})$。在本文中，我们研究了 Jordan totients 的两个乘积 $P$ 和 $Q$ 的分数 $P/Q$ 的平均行为，我们称之为 Jordan totient 商数。为此，我们描述了两种通用且随时可用的方法，它们允许处理更大类别的 totient 函数。第一个是基本的，第二个使用了由于 Balakrishnan 和 P\'etermann 的高级方法。作为一个应用，我们确定 Jordan 总商的平均行为，即 $n^{th}$ 分圆多项式 $\Phi_n(z)$ 在 $z=1$ 处的 $k^{th}$ 归一化导数， $n^{th}$ 分圆多项式 $\Phi_n(z)$ 在 $z=-1$ 处的二阶归一化导数，以及 $\Phi_n(z)$ 在 $z= 处的 Schwarzian 导数的平均阶数1美元。