Extending the former work for the good reduction case, we provide a numerical criterion to verify a large portion of the "Iwasawa main conjecture without $p$-adic $L$-functions" for elliptic curves with additive reduction at an odd prime $p$ over the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension. We also deduce the corresponding $p$-part of the Birch and Swinnerton-Dyer formula for elliptic curves of rank zero from the same numerical criterion. We give explicit examples at the end and specify our choice of Kato's Euler system in the appendix.

中文翻译：

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加加减法椭圆曲线的加藤欧拉系统的注解

扩展以前的工作在良好的归约情况下，我们提供了一个数值标准来验证“没有 $p$-adic $L$-functions 的 Iwasawa 主要猜想”的大部分内容，用于在奇素数 $p 处具有加性归约的椭圆曲线$ 在分圆 $\mathbb{Z}_p$-extension 上。我们还从相同的数值标准推导出了零阶椭圆曲线的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 公式的相应 $p$ 部分。我们在最后给出了明确的例子，并在附录中指定了我们对加藤欧拉系统的选择。